8.4.1 Matrice de contrôle de parité

Soit H la matrice appelée matrice de contrôle de parité, destinée à permettre le contrôle d'erreur. Pour toute matrice G de taille (k×n), il existe une matrice H, de taille (n - k, n), telle que les lignes de H soient orthogonales aux lignes de la matrice G; autrement dit, GH^T = $\underline{{0}}$, où H^T est la transposée de la matrice H et $\underline{{0}}$ une matrice (k, n - k) dont tous les éléments sont nuls. Pour respecter la contrainte d'orthogonalité, la matrice H a la forme

$$\left[\vphantom{I_{n-k}\,\vert\, P^{T}}\right. \left.\vphantom{I_{n-k}\,\vert\, P^{T}}\right]$$ (8.21)

ce qui conduit à la forme transposée

$$\left[\vphantom{\begin{array}{c} \underline{I_{n-k}}\\ P\end{array}}\right. \begin{array}{c} \underline{I_{n-k}}\\ P\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} \underline{I_{n-k}}\\ P\end{array}}\right]$$ H^T = (8.22)

$$\left[\vphantom{\begin{array}{cccc} 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ..... ...& p_{2(n-k)}\\ \vdots\\ p_{k1} & p_{k2} & ... & p_{k(n-k)}\end{array}}\right. \begin{array}{cccc} 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ \vdots\... ...} & ... & p_{2(n-k)}\\ \vdots\\ p_{k1} & p_{k2} & ... & p_{k(n-k)}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cccc} 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ..... ...& p_{2(n-k)}\\ \vdots\\ p_{k1} & p_{k2} & ... & p_{k(n-k)}\end{array}}\right]$$ (8.23)

On vérifie aisément que tout produit $\overrightarrow{c}$H^T pour tout $\overrightarrow{m}$ généré au moyen de la matrice génératrice G fournit un vecteur nul

$$\overrightarrow{c}$$ (8.24)

Ce système d'équations fournit un outil précieux pour la détection des erreurs de transmission lors du décodage en réception. En effet, un mot codé $\overrightarrow{c}$ a été généré par G si et seulement si $\overrightarrow{c}$H^T = 0.