A.1.1 Définition

Soit g(t) un signal non périodique. Par définition, la transformée de FOURIER du signal g(t) est donnée par

$$\mathcal {G} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ (A.1)

À partir de la transformée de FOURIER, il est possible de reconstituer exactement le signal original au moyen de la transformée inverse :

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {G} \pi$$ (A.2)

Pour que la transformée d'un signal g(t) existe, il suffit (condition suffisante mais pas nécessaire), que g(t) satisfasse les trois conditions de DIRICHLET :

1. La fonction g(t) est à valeur unique avec un nombre fini de maxima et de minima pour tout intervalle fini.
2. La fonction g(t) a un nombre fini de discontinuités pour tout intervalle fini.
3. La fonction est ``absolument'' intégrable, c'est-à-dire

   $$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \infty$$ (A.3)

   
   

La transformée de FOURIER nous fournit une interprétation intéressante puisqu'elle décompose le signal en composantes fréquentielles définies sur [- $\infty$, + $\infty$].

Nous dirons que g(t) et $\mathcal {G}$(f ) forment une paire de transformées de FOURIER représentée par

g(t) $$\rightleftharpoons$$ $$\mathcal {G}$$(f )

En général, $\mathcal {G}$(f ) est une fonction de f à valeurs complexes. Nous pouvons donc l'exprimer sous la forme

$$\mathcal {G} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert \theta$$ (A.4)

où $\left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right.$$\mathcal {G}$(f )$\left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert$ est appelé module de $\mathcal {G}$(f ) et $\theta$(f ) est appelée phase de $\mathcal {G}$(f ). Dans le cas particulier important où g(t) est une fonction à valeurs réelles, nous avons

$$\mathcal {G} \mathcal {G}$$ (A.5)

où ^* représente le complexe conjugué. Il vient

$$\left\vert\vphantom{\mathcal{G}(-f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{\mathcal{G}(-f)}\right\vert \left\vert\vphantom{\mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{\mathcal{G}(f)}\right\vert$$ (A.6)

$$\theta \theta$$ (A.7)

Dès lors, nous pouvons déduire deux propriétés importantes d'un signal à valeurs réelles :

1. Le spectre d'amplitude du signal est une fonction paire de la fréquence, c'est-à-dire que le spectre d'amplitude est symétrique par rapport à l'axe vertical.
2. Le spectre de phase du signal est une fonction impaire de la fréquence, c'est-à-dire que le spectre de phase est antisymétrique par rapport à l'axe vertical.