4.4.6 Densité spectrale de puissance

Définition 60   La densité spectrale de puissance $\gamma_{{X}}^{}$(f ) d'un processus aléatoire stationnaire X(t) est la transformée de FOURIER de sa fonction d'autocorrélation $\Gamma_{{XX}}^{}$$\left(\vphantom{\tau}\right.$$\tau$$\left.\vphantom{\tau}\right)$:

$$\gamma_{{X}}^{} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \Gamma_{{XX}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) \pi \tau \tau$$ (4.113)

$$\Gamma_{{XX}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \gamma_{{X}}^{} \pi \tau$$ (4.114)

Ces relations sont appelées relations d'EINSTEIN-WIENER-KINTCHINE. Voici quelques propriétés importantes de la densité spectrale de puissance:

• la valeur à l'origine de la densité spectrale de puissance d'un processus aléatoire stationnaire est égale à l'aire sous le graphe de la fonction d'autocorrélation:

  $$\gamma_{{X}}^{} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \Gamma_{{XX}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) \tau$$ (4.115)

  
  

• la valeur moyenne du carré d'un processus aléatoire stationnaire est égale à l'aire sous le graphe de la densité spectrale de puissance:

  $$\left\{\vphantom{ X^{2}(t)}\right. \left.\vphantom{ X^{2}(t)}\right\} \Gamma_{{XX}}^{} \left(\vphantom{0}\right. \left.\vphantom{0}\right) \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \gamma_{{X}}^{}$$ (4.116)

  
  
  Cette relation est importante car elle indique que la puissance d'un signal aléatoire, qui n'est autre que E$\left\{\vphantom{ X^{2}(t)}\right.$X²(t)$\left.\vphantom{ X^{2}(t)}\right\}$, peut se calculer par l'intégrale de la densité spectrale de puissance. C'est bien entendu à cette propriété fondamentale que la fonction $\gamma_{{X}}^{}$(f ) doit le nom de densité spectrale de puissance.
• la densité spectrale de puissance d'un processus aléatoire stationnaire à valeurs réelles est une fonction paire de la fréquence:

  $$\gamma_{{X}}^{} \gamma_{{X}}^{}$$ (4.117)

  
  

Remarquons que la transformée de FOURIER d'un signal aléatoire est elle-même aléatoire, et de ce fait, on ne peut pas la calculer. On peut par contre déterminer sa densité spectrale de puissance car cette fonction est déterministe -on suppose bien sûr la stationnarité au sens large ainsi que l'ergodicité de X(t).

Exemple: onde sinusoïdale avec phase aléatoire.

Considérons un signal sinusoïdal avec phase aléatoire, défini par

$$\left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right. \pi \Theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right)$$ (4.118)

où A_c et f_c sont constants et $\Theta$ est une variable aléatoire uniformément distribuée sur l'intervalle $\left[\vphantom{-\pi,+\pi}\right.$ - $\pi$, + $\pi$$\left.\vphantom{-\pi,+\pi}\right]$, c'est-à-dire

$$\Theta \theta \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2\pi} & & -\pi\leq\theta\leq+\pi\\ 0 & & sinon\end{array}}\right. \begin{array}{ccc} \frac{1}{2\pi} & & -\pi\leq\theta\leq+\pi\\ 0 & & sinon\end{array}$$ (4.119)

Calculons tout d'abord la moyenne statistique du processus aléatoire X(t):

$$\mu_{{X}}^{} \left\{\vphantom{ X(t)}\right. \left.\vphantom{ X(t)}\right\}$$ = (4.120)

$$\int_{{-\pi}}^{{+\pi}} \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\theta}\right. \pi \theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\theta}\right) {\frac{{1}}{{2\pi}}} \theta$$ = (4.121)

= 0 (4.122)

La moyenne statistique du processus aléatoire X(t) est donc indépendante du temps. Évaluons maintenant sa fonction d'autocorrélation:

$$\Gamma_{{XX}}^{} \left(\vphantom{t_{1},t_{2}}\right. \left.\vphantom{t_{1},t_{2}}\right) \left\{\vphantom{ X(t_{1})X(t_{2})}\right. \left.\vphantom{ X(t_{1})X(t_{2})}\right\}$$ = (4.123)

$$\left\{\vphantom{ A_{c}^{2}\cos\left(2\pi f_{c}t_{1}+\Theta\right)\cos\left(2\pi f_{c}t_{2}+\Theta\right)}\right. \left(\vphantom{2\pi f_{c}t_{1}+\Theta}\right. \pi \Theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}t_{1}+\Theta}\right) \left(\vphantom{2\pi f_{c}t_{2}+\Theta}\right. \pi \Theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}t_{2}+\Theta}\right) \left.\vphantom{ A_{c}^{2}\cos\left(2\pi f_{c}t_{1}+\Theta\right)\cos\left(2\pi f_{c}t_{2}+\Theta\right)}\right\}$$ = (4.124)

$${\frac{{A_{c}^{2}}}{{2}}} \left\{\vphantom{ \cos\left(2\pi f_{c}(t_{2}-t_{1})\right)}\right. \left(\vphantom{2\pi f_{c}(t_{2}-t_{1})}\right. \pi \left.\vphantom{2\pi f_{c}(t_{2}-t_{1})}\right) \left.\vphantom{ \cos\left(2\pi f_{c}(t_{2}-t_{1})\right)}\right\} {\frac{{A_{c}^{2}}}{{2}}} \left\{\vphantom{ \cos\left(2\pi f_{c}(t_{2}+t_{1})+2\Theta\right)}\right. \left(\vphantom{2\pi f_{c}(t_{2}+t_{1})+2\Theta}\right. \pi \Theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}(t_{2}+t_{1})+2\Theta}\right) \left.\vphantom{ \cos\left(2\pi f_{c}(t_{2}+t_{1})+2\Theta\right)}\right\}$$ =

$${\frac{{A_{c}^{2}}}{{2}}} \left[\vphantom{2\pi f_{c}(t_{2}-t_{1})}\right. \pi \left.\vphantom{2\pi f_{c}(t_{2}-t_{1})}\right]$$ = (4.125)

Il apparaît que la fonction d'autocorrélation du processus aléatoire X(t) dépend exclusivement de la différence entre les temps d'observation $\tau$ = t₂ - t₁. Nous pouvons donc écrire

$$\Gamma_{{XX}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) {\frac{{A_{c}^{2}}}{{2}}} \left(\vphantom{2\pi f_{c}\tau}\right. \pi \tau \left.\vphantom{2\pi f_{c}\tau}\right)$$ (4.126)

Étant donné que la moyenne statistique de X(t) ne dépend pas du temps et que sa fonction d'autocorrélation ne dépend que de la différence entre les temps d'observation, nous pouvons conclure que le processus aléatoire X(t) est stationnaire au sens large. Évaluons à présent la densité spectrale de puissance de X(t):

$$\gamma_{{X}}^{} {\frac{{A_{c}^{2}}}{{4}}} \left[\vphantom{\delta(f-f_{c})+\delta(f+f_{c})}\right. \delta \delta \left.\vphantom{\delta(f-f_{c})+\delta(f+f_{c})}\right]$$ (4.127)

qui est constituées de deux raies situées en f = ±f_c et pondérées par le facteur A_c²/4. Notons que l'aire totale sous le graphe de $\gamma_{{X}}^{}$(f ) est égale à A_c²/2, ce qui correspond bien à E$\left\{\vphantom{ X^{2}(t)}\right.$X²(t)$\left.\vphantom{ X^{2}(t)}\right\}$ = $\Gamma_{{XX}}^{}$$\left(\vphantom{0}\right.$ 0$\left.\vphantom{0}\right)$.