6.1.2 Opérateur de dérivée première

Par commodité, nous considérons une image caractérisée par une fonction f (x, y) bidimensionnelle et continue. Il faut, dans ce cas, indiquer dans quelle direction on calcule la dérivée. Les principaux choix sont les directions horizontale $\overrightarrow{e_{x}}$ ou verticale $\overrightarrow{e_{y}}$; une dérivée dans une autre direction $\overrightarrow{\theta}$ peut se ramener à une combinaison des dérivées suivant les axes principaux -il s'agit alors de dérivée directionnelle.

Considérons la dérivée partielle de la fonction f (x, y) par rapport à x La transformée de FOURIER de cet opérateur vaut

$${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \rightleftharpoons \pi \mathcal {F}$$ (6.1)

Dériver par rapport à x équivaut donc à multiplier la transformée de FOURIER de f (x, y) par la fonction de transfert $\mathcal {H}$_x(u, v) = 2$\pi$ju, c'est-à-dire filtrer f (x, y) avec le filtre dont la réponse impulsionnelle est donnée par

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi \pi$$ (6.2)

De même, on peut définir la réponse impulsionnelle h_y(x, y) correspondant au filtrée dérivée dans la direction $\overrightarrow{e_{y}}$. Le module de la fonction de transfert $\mathcal {H}$_x(u, v) étant égal à 2$\pi$| u|, on voit clairement qu'il y a un effet accentuateur des hautes fréquences, d'où le caractère passe-haut de l'opérateur dérivée. C'est pareil pour h_y(x, y).

En adoptant une notation vectorielle de la dérivée, on définit le gradient $\bigtriangledown$f de l'image f par

$$\bigtriangledown {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \overrightarrow{e_{x}} {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \overrightarrow{e_{y}} \otimes \overrightarrow{e_{x}} \otimes \overrightarrow{e_{y}}$$ (6.3)

Le gradient d'une fonction f (x, y) est une fonction vectorielle. Mais plutôt que de recourir aux composantes en x et y, on peut caractériser un gradient par son amplitude et sa direction.

Définition 52   [Amplitude du gradient]

$$\left\vert\vphantom{\bigtriangledown f}\right. \bigtriangledown \left.\vphantom{\bigtriangledown f}\right\vert \sqrt{{(h_{x}\otimes f)^{2}+(h_{y}\otimes f)^{2}}}$$ (6.4)

Remarque pratique: approximation du gradient
On approxime parfois l'amplitude du gradient (ou d'une norme) par l'expression

$$\left\vert\vphantom{\bigtriangledown f}\right. \bigtriangledown \left.\vphantom{\bigtriangledown f}\right\vert \simeq \left\vert\vphantom{h_{x}\otimes f}\right. \otimes \left.\vphantom{h_{x}\otimes f}\right\vert \left\vert\vphantom{h_{y}\otimes f}\right. \otimes \left.\vphantom{h_{y}\otimes f}\right\vert$$ (6.5)

pour éviter le calcul de la racine carrée et les élévations au carré afin d'accélérer le calcul mais cette formule n'est qu'une approximation. Cette approximation est tout à fait raisonnable lorsqu'un terme dépasse largement l'autre. Par exemple, si h_x $\otimes$ f $\ll$ h_y $\otimes$ f, $\left\vert\vphantom{\bigtriangledown f}\right.$$\bigtriangledown$f$\left.\vphantom{\bigtriangledown f}\right\vert$ $\simeq$ $\left\vert\vphantom{h_{y}\otimes f}\right.$h_y $\otimes$ f$\left.\vphantom{h_{y}\otimes f}\right\vert$. Dans le cas où les deux termes sont d'amplitude égale, on a $\left\vert\vphantom{\bigtriangledown f}\right.$$\bigtriangledown$f$\left.\vphantom{\bigtriangledown f}\right\vert$ $\simeq$ $\sqrt{{2}}$$\left\vert\vphantom{h_{x}\otimes f}\right.$h_x $\otimes$ f$\left.\vphantom{h_{x}\otimes f}\right\vert$. L'erreur peut donc atteindre 41%.

Définition 53   [Direction du gradient]

$$\varphi_{{\bigtriangledown f}}^{} \left(\vphantom{\frac{h_{y}\otimes f}{h_{x}\otimes f}}\right. {\frac{{h_{y}\otimes f}}{{h_{x}\otimes f}}} \left.\vphantom{\frac{h_{y}\otimes f}{h_{x}\otimes f}}\right)$$ (6.6)

Étant donnée la définition du gradient d'une fonction, il est maintenant possible de définir sa dérivée directionnelle par

Définition 54   [Dérivée directionnelle]

$${\frac{{\partial f}}{{\partial\overrightarrow{\theta}}}} \overrightarrow{\theta} \bigtriangledown$$ (6.7)

Il s'agit du produit scalaire du gradient de f et d'un vecteur caractérisant la direction dans laquelle on désire calculer la dérivée. Si la direction $\overrightarrow{\theta}$ fait un angle $\theta$ avec l'axe x, c'est-à-dire $\overrightarrow{\theta}$ = cos$\theta$ $\overrightarrow{e_{x}}$ + sin$\theta$ $\overrightarrow{e_{y}}$, la dérivée directionnelle peut encore s'écrire

$${\frac{{\partial f}}{{\partial\overrightarrow{\theta}}}} \theta {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \theta {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}$$ (6.8)

Pour $\theta$ = 0, nous retrouvons la dérivée directionnelle dans la direction $\overrightarrow{e_{x}}$. La dérivée directionnelle est utile pour mettre en évidence les contours d'une image qui ont une orientation particulière.