2.4 La transformée de HADAMARD

Si les matrices de transformation $\underline{{P}}$ et $\underline{{Q}}$ sont des matrices de HADAMARD, alors $\underline{{F}}$ = $\underline{{P}}$ $\underline{{f}}$ $\underline{{Q}}$ est appelée transformée de HADAMARD de l'image $\underline{{f}}$ . Une matrice de HADAMARD $\underline{{H}}_{{JJ}}^{}$ est une matrice symétrique, de dimension J×J, dont les éléments sont tous égaux à ±1 et définie comme suit. La matrice d'HADAMARD du second ordre est

$\displaystyle \underline{{H}}_{{22}}^{}$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1\end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1\end{array}}\right]$

(2.22)

La matrice de HADAMARD d'ordre 2^k peut être écrite sous la forme

$\displaystyle \underline{{H}}_{{2J2J}}^{}$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{cc} \underline{H}_{JJ} & \underline{H}_{JJ}\\ \underline{H}_{JJ} & -\underline{H}_{JJ}\end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{cc} \underline{H}_{JJ} & \underline{H}_{JJ}\\ \underline{H}_{JJ} & -\underline{H}_{JJ}\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc} \underline{H}_{JJ} & \underline{H}_{JJ}\\ \underline{H}_{JJ} & -\underline{H}_{JJ}\end{array}}\right]$

(2.23)

Des matrices de HADAMARD d'ordre autre que 2^k existent mais elles sont rarement utilisées en traitement d'images. L'inverse d'une matrice de Hadamard est donnée par

$\displaystyle \underline{{H}}_{{JJ}}^{{-1}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{J}}}$ $\displaystyle \underline{{H}}_{{JJ}}^{}$

(2.24)

Définition 5 La transformée de HADAMARD et son inverse sont alors définies par

$\displaystyle \underline{{F}}$ = $\displaystyle \underline{{H}}_{{MM}}^{}$ $\displaystyle \underline{{f}}$ $\displaystyle \underline{{H}}_{{NN}}^{}$ $\displaystyle \underline{{f}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{MN}}}$ $\displaystyle \underline{{H}}_{{MM}}^{}$ $\displaystyle \underline{{F}}$ $\displaystyle \underline{{H}}_{{NN}}^{}$

(2.25)

Étant donnée la composition des matrices de transformation, la transformée de HADAMARD et son inverse peuvent être calculée uniquement par des additions. La transformée de HADAMARD est parfois appelée transformée de WALSH-HADAMARD. Elle est occasionnellement utilisée dans des applications de codage d'images.