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2.6.1 Définition

La transformée de FOURIER d'une image f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ est définie par

$\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ f $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ e^{-2jxu + yv}dxdy

(2.33)

où u et v désignent les fréquences spatiales dans les directions x et y. À partir de la transformée de FOURIER, il est possible de reconstituer exactement l'image originale en prenant la transformée inverse

f $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ e^{2jux + vy}dudv

(2.34)

Pour que la transformée d'une image existe, la condition suivante suffit

$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle \left\vert\vphantom{f\left(x,y\right)}\right.$ f $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{f\left(x,y\right)}\right\vert$ dxdy < + $\displaystyle \infty$

(2.35)

La transformée de FOURIER nous fournit une interprétation intéressante puisqu'elle décompose l'image en composantes fréquentielles définie sur $\left[\vphantom{-\infty,+\infty}\right.$ - $\infty$ , + $\infty$ $\left.\vphantom{-\infty,+\infty}\right]$ × $\left[\vphantom{-\infty,+\infty}\right.$ - $\infty$ , + $\infty$ $\left.\vphantom{-\infty,+\infty}\right]$ . f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ et $\mathcal {F}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ forment une paire de transformée de FOURIER représentée par

f $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$

(2.36)

En général, $\mathcal {F}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ est une fonction de u et de v à valeurs complexes. Nous pouvons donc l'exprimer sous la forme

$\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle \left\Vert\vphantom{ \mathcal{F}\left(u,v\right)}\right.$ $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \mathcal{F}\left(u,v\right)}\right\Vert$ e^{ju, v}

(2.37)

où $\left\Vert\vphantom{ \mathcal{F}\left(u,v\right)}\right.$ $\mathcal {F}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ $\left.\vphantom{ \mathcal{F}\left(u,v\right)}\right\Vert$ est appelé module de $\mathcal {F}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ ou spectre fréquentiel de l'image f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ et $\theta$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ est la phase de $\mathcal {F}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ ou spectre de phase de $\mathcal {F}$ $\left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\left.\vphantom{u,v}\right)$ . Dans le cas particulier important où f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ est une fonction à valeurs réelles, nous avons

$\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{-u,-v}\right.$ - u, - v $\displaystyle \left.\vphantom{-u,-v}\right)$ = $\displaystyle \mathcal {F}$ ^* $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ (2.38)

Dès lors,

$\displaystyle \left\Vert\vphantom{ \mathcal{F}\left(-u,-v\right)}\right.$ $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{-u,-v}\right.$ - u, - v $\displaystyle \left.\vphantom{-u,-v}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \mathcal{F}\left(-u,-v\right)}\right\Vert$ = $\displaystyle \left\Vert\vphantom{ \mathcal{F}\left(u,v\right)}\right.$ $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \mathcal{F}\left(u,v\right)}\right\Vert$

(2.39)

$\displaystyle \theta$ $\displaystyle \left(\vphantom{-u,-v}\right.$ - u, - v $\displaystyle \left.\vphantom{-u,-v}\right)$ = - $\displaystyle \theta$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$

(2.40)

On peut en déduire deux propriétés importantes d'une image à valeurs réelles:

le spectre fréquentiel de l'image est symétrique par rapport à l'origine du système d'axes u - v. C'est-à-dire que la connaissance d'un demi-plan suffit. Ce résultat est satisfaisant car si, dans le plan spatial, on dispose de M×N variables indépendantes, la transformée de FOURIER fournit seulement (M×N)/2 variables indépendantes mais ces variables sont complexes.
le spectre de phase de l'image est anti-symétrique par rapport à l'origine du système d'axes u - v.