4.6.1 Notion de fonction

L'extension des outils de la morphologie mathématique à l'étude des images en niveaux de gris s'est réalisée longtemps après la définition des concepts de la théorie. MEYER et STERNBERG [36] furent les véritables initiateurs de techniques adaptées à des images en niveaux de gris.

Soit $\mathcal {G}$ un ensemble de valeurs de niveaux de gris. Dans ce qui suit, nous supposerons que $\mathcal {G}$ est un espace complété ( $\mathcal {G}$ = $\mathbb {R}$ $\cup$ { - $\infty$, + $\infty$} ou $\mathcal {G}$ = $\mathbb {Z}$ $\cup$ { - $\infty$, + $\infty$}). Une image est représentée par une fonction f : $\mathcal {E}$ $\rightarrow$ $\mathcal {G}$, qui à tout point du plan fait correspondre une valeur. En pratique, l'image n'est pas définie sur la totalité du référentiel $\mathcal {E}$ mais sur un support compact D qui constitue la partie visible de l'image. Néanmoins, à condition de bien comprendre les effets de bord, rien ne nous empêche de considérer une support infini par facilité.

Pour la morphologie mathématique en niveaux de gris, les opérations de base ne sont plus l'union et l'intersection mais le supremum $\vee$ et l'infimum $\wedge$. Pour aborder le cadre algébrique, il faut d'abord définir la notion d'ordre entre fonctions, tout comme nous l'avions fait pour les ensembles en utilisant la notion d'inclusion.

Définition 29   [Ordre partiel entre fonctions] Soient deux fonctions f et g. La fonction f est inférieure à g,

$$\leq \leq \forall \in \mathcal {E}$$ (4.36)

La relation ``est plus grand'', notée $\geq$, est définie de la même manière. L'ordre partiel permet de définir les bornes d'une famille d'opérateurs.

Insistons bien sur le fait que a fonction f est inférieure ($\leq$) à la fonction g si, en tout point x de $\mathcal {E}$, on a l'inégalité de valeur f (x) $\leq$ g(x). Comme toutes les valeurs d'une fonction ne sont pas nécessairement toutes inférieures ou supérieures à une autre fonction, il n'est pas toujours possible de déterminer l'ordre entre des fonctions; c'est la raison pour laquelle il s'agit d'un ordre partiel.

Définition 30   [Infimum et supremum] Soit une famille de fonctions f_i, i $\in$ I. L'infimum (respectivement le supremum) de cette famille, noté $\wedge_{{i\in I}}^{}$ f_i (resp. $\vee_{{i\in I}}^{}$ f_i) est la grande borne inférieure (resp. petite borne supérieure).

Dans le cas d'une famille I finie, le supremum et l'infimum se ramènent au maximum et au minimum respectivement. Dans ce cas,

$$\forall \in \mathcal {E} \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} (f\vee g)(x)=\max(f(x),g(x))\\ (f\wedge g)(x)=\min(f(x),g(x))\end{array}}\right. \begin{array}{l} (f\vee g)(x)=\max(f(x),g(x))\\ (f\wedge g)(x)=\min(f(x),g(x))\end{array}$$ (4.37)

Nous conserverons l'expression formelle générale parce qu'elle est à la fois plus répandue dans la littérature scientifique et plus commode pour l'étude de propriétés délicates comme la convergence de certains opérateurs.

Tout comme pour des ensembles, il nous reste à définir le translaté d'une fonction.

Définition 31   La translation de la fonction f par b est la fonction f_b définie par

$$\forall \in \mathcal {E}$$ (4.38)

Cette définition de translation agit sur le support d'une fonction. Nous aurions tout aussi bien pu définir une translation des valeurs de la fonction, mais ce concept ne nous servira pas directement.