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4.6.2 Définition de propriétés des opérateurs de fonctions

Les opérateurs morphologiques de fonctions agissent comme des transformations d'ensembles. Dans ce paragraphe, nous étendons les concepts vus précédemment aux opérateurs de fonctions.

Définition 32 [Idempotence] Une transformation $\psi$ est idempotente si, quelle que soit la fonction traitée, une nouvelle application de l'opérateur n'apporte aucun changement, c'est-à-dire si

$\displaystyle \forall$ f, $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \psi$ (f )) = $\displaystyle \psi$ (f )

(4.39)

Définition 33 [Extensivité] Un opérateur est extensif si la fonction transformée est plus grande que la fonction de départ

$\displaystyle \forall$ f, f $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \psi$ (f )

(4.40)

Définition 34 [Anti-extensivité] Une transformation de fonctions est anti-extensive si la fonction transformée est plus petite que la fonction de départ

$\displaystyle \forall$ f, f $\displaystyle \geq$ $\displaystyle \psi$ (f )

(4.41)

La croissance est une autre propriété qui joue un rôle primordial dans les traitements morphologiques. Elle indique si un opérateur préserve la relation d'ordre.

Définition 35 [Croissance] Une transformation de fonctions est croissante si elle conserve l'ordre établi entre fonctions

$\displaystyle \forall$ f, g, f $\displaystyle \leq$ g $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \psi$ (f ) $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \psi$ (g)

(4.42)

Par extension aussi, une transformation $\psi_{{1}}^{}$ est inférieure à un transformation $\psi_{{2}}^{}$ si, pour toute fonction f, $\psi_{{1}}^{}$ (f ) est inférieur à $\psi_{{2}}^{}$ (f ):

$\displaystyle \psi_{{1}}^{}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \psi_{{2}}^{}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \forall$ f, $\displaystyle \psi_{{1}}^{}$ (f ) $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \psi_{{2}}^{}$ (f )

(4.43)