2.3.4 Échantillonnage

L'échantillonnage peut se comparer à l'effet d'un stroboscope ou d'une technique cinématographique. Dans un film, l'illusion du mouvement est produite par la projection rapide de photographies fixes défilant rapidement. On joue sur le fait que l'oeil intègre ce qu'il perçoit si la vitesse de défilement est suffisamment rapide.

L'échantillonnage consiste aussi à enregistrer un nombre de représentations instantanées du son, puis à les faire redéfiler à un taux variant entre 5.000 et 100.000 échantillons par seconde, pour recréer le son. Comme pour le film, la fidélité de reproduction dépend du taux d'échantillonnage.

Un signal numérique s'obtient en découpant le signal d'onde analogique en petits éléments qui sont ensuite stockés sous forme d'échantillons numériques, d'où le nom d'échantillonnage donné à ce processus. Dans le cas d'une image, les échantillons sont appelés pels ou pixels (pixel pour ``picture element''); il s'agit de points auxquels on associe une valeur dans une représentation de couleurs.

Le nombre d'échantillons pris par seconde définit le taux ou fréquence d'échantillonnage.

Définition 12   [Fréquence d'échantillonnage] Nombre de mesures effectuées dans un temps donné pendant la conversion d'un signal analogique en données numériques.

Une fréquence d'échantillonnage de 22 [kHz] signifie que 22.000 mesures sont effectuées par seconde.

D'après SHANNON, la fréquence d'échantillonnage doit être égale au double de la fréquence la plus élevée contenue dans le signal. Voici le théorème de l'échantillonnage:

Théorème 13   [SHANNON] Une fonction g(t) à énergie finie et à spectre limité, c'est-à-dire dont la transformée de FOURIER $\mathcal {G}$(f ) est nulle pour | f| > W, est entièrement déterminée par ses échantillons g[nT_s], n $\in$ { - $\infty$, + $\infty$} pour autant que la fréquence d'échantillonnage f_s soit strictement supérieure au double de la borne supérieure du spectre

f_s > 2W (2.9)

Soit, sous une forme simplifiée,

Théorème 14   [SHANNON] Pour pouvoir reconstituer un son correctement, le nombre d'échantillons pendant une seconde doit être le double de la largeur de bande de l'onde.

Autrement dit, pour un son dont la largeur de bande passante est de l'ordre^2.4 de 4000 [Hz] (téléphonie), il faut au moins 8000 échantillons par seconde. Pour le la du diapason, son pur de 440 [Hz], il en faut plus de 880 par seconde. Enfin, pour un disque compact (CD-audio), sachant qu'un son audible atteint 20 [kHz], les signaux sont échantillonnés avec une marge de 10% à 44, 1 [kHz].

2.3.4.1 Filtrage et repli de spectre

Nous n'avons pas encore évoqué jusqu'ici un facteur aussi important que troublant, producteur de distorsions très désagréables s'il n'est pas maîtrisé correctement: le repli de spectre ou aliasing.

Lorsqu'on tente de synthétiser des fréquences plus hautes que la moitié du taux d'échantillonnage original, ces fréquences ne sont pas effacées comme elles le sont par un appareil audio réel. Au contraire, elles réapparaissent en des endroits aléatoires sous forme de fréquences entièrement différentes donnant naissance au phénomène de repli de spectre. Le phénomène de repli de spectre est illustré par la figure 2.24: les échantillons obtenus à la fréquence d'échantillonnage légèrement inférieure à 6 [Hz] ne permettent plus de représenter les fluctuations rapides de la fonction à 6 [Hz], d'où erreur dans l'interprétation du signal.

La règle à respecter est que la plus haute fréquence prise en compte doit être inférieure à la moitié du taux d'échantillonnage. Il faut donc filtrer, c'est-à-dire supprimer toute une série de fréquences, avant d'échantillonner.

Figure 2.24: Repli de spectre ou aliasing.

 

Un phénomène similaire se produit au cinéma avec un roue qui tourne trop vite par rapport au nombre d'images échantillonnées (cf. figure 2.25); la roue se met à tourner dans le sens inverse.

Figure 2.25: Repli de spectre; exemple de la roue qui tourne à l'envers au cinéma.

Fréquence d'échantillonnage correcte
Repli de spectre dû à une vitesse de rotation trop élevée

En toute rigueur, il faudrait prévenir l'apparition de fréquences artificielles -par exemple, toutes celles qui montrent la roue tournant à l'envers- par un filtrage préalable à l'échantillonnage. Il en résultera alors l'image d'une roue immobile.

L'échantillonnage fournit une série valeurs réelles. Mais comme la résolution de chaque échantillon ne peut être continue pour des raisons de place de stockage et d'efficacité, on recourt à la quantification.

Notes

... l'ordre^2.4

Stricto sensu, le signal va jusqu'à 3400 [Hz]. Mais pour faciliter l'implémentation de l'échantillonnage, on considère une bande allant jusqu'à 4000 [Hz]/