8.2.1 Modèle de canal

8.2.1.1 Canal discret sans mémoire

Définition 42   Un canal discret sans mémoire est caractérisé par un alphabet d'entrée, un alphabet de sortie et un jeu de probabilités conditionnelles, p(j| i), où 1 $\leq$ i $\leq$ M représente l'indice du caractère d'entrée, 1 $\leq$ j $\leq$ Q représente l'indice du caractère de sortie, et p(j| i) la probabilité d'avoir j en réception alors que i a été émis.

La probabilité d'un symbole de réception dépend donc exclusivement du caractère correspondant émis. Pour un modèle de canal avec mémoire, on rompt cette limitation en autorisant qu'un caractère dépende de plusieurs symboles d'entrée pris à des temps différents.

8.2.1.2 Canal binaire symétrique

Le canal binaire symétrique est un cas particulier de canal discret sans mémoire. Les alphabets d'entrée et de sortie se limitent aux deux caractères 0 et 1. De plus, les probabilités conditionnelles sont symétriques

p(0| 1) = p(1| 0) = p

p(1| 1) = p(0| 0) = 1 - p

Sur base d'un modèle de ce type, on définit aisément la probabilité d'erreur d'un démodulateur. Dans le cas d'une modulation de phase à deux états, on établit que la probabilité d'erreur P_e vaut

$${\frac{{1}}{{2}}} \left(\vphantom{\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}}}\right. \sqrt{{\frac{E_{b}}{N_{0}}}} \left.\vphantom{\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}}}}\right)$$ (8.1)

La démodulation comprenant le filtre adapté suivi d'un organe de décision est relativement contraignante car elle s'effectue statiquement sur base d'un seuil.

8.2.1.3 Canal gaussien

On peut généraliser la notion de canal discret sans mémoire en prenant le même alphabet d'entrée discret à M niveaux, mais en considérant que la sortie est continue sur l'intervalle [- $\infty$, + $\infty$]. Cette modélisation permet de considérer que le canal ajoute du bruit au signal. Soit donc un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance $\sigma^{{2}}_{}$, la densité de probabilité de la variable aléatoire de sortie z, liée à la valeur estimée u_k, issue du filtre adapté, est

$${\frac{{1}}{{\sigma\sqrt{2\pi}}}} {\frac{{(z-u_{k})^{2}}}{{2\sigma^{2}}}}$$ (8.2)

Quand l'organe de décision dispose des densités de probabilité pour toutes les valeurs d'entrée, il est en mesure de prendre une décision plus souple sur le symbole transmis mais ce type de décision est plus complexe.

Dans notre cas, nous prendrons le schéma usuel de décision, à savoir celui qui consiste à établir les décisions sur base de seuils fixés une fois pour toutes.