8.3 Codes linéaires

Revenons un instant au signal MPEG-2. Soient m₁ = F, m₂ = V et m₃ = H, les trois bits du message que l'on veut coder. On écrit pour les bits du message codé: c₁ = P₁, c₂ = P₂, c₃ = P₃, c₄ = P₄, c₅ = m₁, c₆ = m₂ et c₇ = m₃. Les expressions explicites de chacun des bits de parité s'écrivent alors de manière formelle

c1	=	$$\alpha_{{11}}^{}$$m1 $$\oplus$$ $$\alpha_{{21}}^{}$$m2 $$\oplus$$ $$\alpha_{{31}}^{}$$m3
c2	=	$$\alpha_{{12}}^{}$$m1 $$\oplus$$ $$\alpha_{{22}}^{}$$m2 $$\oplus$$ $$\alpha_{{32}}^{}$$m3
c3	=	$$\alpha_{{13}}^{}$$m1 $$\oplus$$ $$\alpha_{{23}}^{}$$m2 $$\oplus$$ $$\alpha_{{33}}^{}$$m3
c4	=	$$\alpha_{{14}}^{}$$m1 $$\oplus$$ $$\alpha_{{24}}^{}$$m2 $$\oplus$$ $$\alpha_{{34}}^{}$$m3
c5	=	m1
c6	=	m2
c7	=	m3

avec des valeurs $\alpha_{{ij}}^{}$ adéquates.

Les bits de parité apparaissent donc comme des combinaisons linéaires du message proprement dit. Il en va de même, plus généralement, des bits c_i ( 1 $\leq$ i $\leq$ n) du mot de code par blocs. On se trouve donc le cas d'une algèbre linéaire. Il est tout naturel d'appeler code linéaire le code étudié et tout code de même nature. On peut alors écrire ce type de codage à l'aide de représentations matricielles qui en simplifient grandement l'exposé.