3.1.2 Représentation fréquentielle: la transformée de FOURIER

Les signaux déterministes ont une évolution temporelle connue de leur valeur. On peut dès lors leur trouver un équivalent dans le domaine spectral par le biais de la transformée de FOURIER.

Soit un signal déterministe non périodique x(t), la transformée de FOURIER de x(t) est l'intégrale

$$\mathcal {X} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ (3.15)

où f est la variable exprimant la fréquence. La transformation inverse fournit le signal original; elle est définie par

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {X} \pi$$ (3.16)

La fréquence se mesure en Hertz, noté Hz ou [Hz]. Elle est liée à la pulsation angulaire $\omega$ par la relation

$$\omega \pi$$ (3.17)

La transformée de FOURIER est parfois définie en termes de pulsation angulaire plutôt qu'en terme de fréquence. Sans que cela ne modifie le principe de l'analyse spectrale, l'usage d'une autre variable introduit un coefficient correcteur dans certaines expressions. Notre choix est guidé par deux considérations: primo, l'usage de la fréquence introduit une symétrie intéressante dans la définition de la transformée et de son inverse, secundo, le contenu spectral des signaux et le comportement des systèmes sont exprimés majoritairement en terme de fréquences dans la littérature des télécommunications.

Il existe des conditions suffisantes d'existence de la transformée de FOURIER; elles portent sur la nature de la fonction x(t). Toutefois, la question de l'existence est un faux problème pour des signaux décrivant des phénomènes physiques réels. On peut ainsi montrer que tous les signaux à énergie finie, c'est-à-dire que $\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\left\vert\vphantom{x(t)}\right.$x(t)$\left.\vphantom{x(t)}\right\vert^{{2}}_{}$dt < $\infty$, possèdent une transformée de FOURIER.

3.1.2.1 Égalité de PARSEVAL et théorème de RAYLEIGH

Soit x(t) un signal, réel ou complexe, défini de - $\infty$ à + $\infty$. Supposons que sa transformée de FOURIER #MATH609#(F ) existe. L'énergie totale du signal est définie par l'expression habituelle

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\vert\vphantom{x(t)}\right. \left.\vphantom{x(t)}\right\vert^{{2}}_{}$$ (3.18)

Cette énergie peut aussi trouver expression dans le domaine fréquentiel. En effet, le produit scalaire $\left\vert\vphantom{x(t)}\right.$x(t)$\left.\vphantom{x(t)}\right\vert^{{2}}_{}$ est égal au produit de la fonction x(t) par son complexe conjugué x ^* (t). Or, la transformée de FOURIER de cette fonction est égale à $\mathcal {X}$ ^* (- f ). À fréquence nulle, on établit alors le théorème suivant, du à PARSEVAL, mais auquel on associe abusivement le nom de RAYLEIGH:

Théorème 17   [Rayleigh]

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\vert\vphantom{x(t)}\right. \left.\vphantom{x(t)}\right\vert^{{2}}_{} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{X}(f)}\right. \mathcal {X} \left.\vphantom{ \mathcal{X}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (3.19)

Toute fonction $\mathcal {X}$(f ) qui représente le carré de la transformée de FOURIER d'un signal fournit, après intégration de - $\infty$ à + $\infty$, l'énergie totale dudit signal, ce qui lui vaut parfois le nom de densité spectrale d'énergie. C'est en effet une mesure de la localisation de l'énergie dans le domaine fréquentiel.