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6.2.1 Modèle théorique linéaire

En télécommunications numériques, on désire transmettre une série de valeurs d'information i_k, de probabilités respectives p_k. Pour ce faire, il faut mettre cette information sous la forme d'un signal électromagnétique analogique continu. On fait un usage fréquent du signal

g(t) = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$ A_k $\displaystyle \phi_{{k}}^{}$ (t - kT)

(6.6)

où $\phi_{{k}}^{}$ (t) est une forme d'onde, nulle en dehors de l'intervalle [0, T], et A_k une séquence de variables aléatoires éventuellement complexes; la forme d'onde $\phi_{{k}}^{}$ (t) et l'amplitude A_k sont associées à un symbole d'information i_k. Comme on peut le voir, il s'agit d'un modèle linéaire de la mise en forme de signaux PCM. Ce modèle suffira à décrire la transmission en bande de base, la modulation numérique ainsi que les codes linéaires.

Pour la simplicité, prenons une onde de mise en forme unique^6.1 $\phi_{{k}}^{}$ (t) = $\phi$ (t), $\forall$ k. La transformée de FOURIER de g(t) est

$\displaystyle \mathcal {G}$ (f )	=	$\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$ A_k $\displaystyle \mathcal {F}$ { $\displaystyle \phi$ (t - kT)} = $\displaystyle \mathcal {F}$ { $\displaystyle \phi$ (t)} $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$ A_ke^-2jfkT	(6.7)
	=	$\displaystyle \Phi$ (f ) $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_{k}\delta(t-kT)}\right.$ $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$ A_k $\displaystyle \delta$ (t - kT) $\displaystyle \left.\vphantom{ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_{k}\delta(t-kT)}\right\}$	(6.8)

où $\Phi$ (f )= $\mathcal {F}$ { $\phi$ (t)}.

Il s'agit donc du produit du spectre de l'onde de forme d'une part et du spectre d'une séquence de raies modulées en amplitude d'autre part. En d'autres termes, la transformée de FOURIER du signal issu de la mise en forme de signaux numériques résulte du passage d'un train d'impulsions de DIRAC à travers un filtre définissant la forme d'onde.

Par la suite, nous allons nous intéresser à la répartition fréquentielle de la puissance du signal -cette notion est appelée densité spectrale de puissance .

Notes

... unique ^6.1: Dès lors que la forme d'onde n'est plus unique, il n'est plus possible de traiter l'ensemble des modulations numériques par ce modèle. Ainsi, l'onde de mise en forme est différente pour chaque symbole dans le cas d'une modulation numérique non cohérente.