6.4.4 Première phase: filtrage ou corrélation

Le signal de bruit n(t) est un processus de bruit blanc à moyenne nulle et de densité spectrale de puissance N₀/2. On suppose que le récepteur connaît la forme des ondes reçues de sorte que son comportement a pu être optimisé en fonction de ces ondes. L'incertitude résulte de l'addition du bruit n(t). La fonction du récepteur consiste à détecter la nature de l'impulsion g(t) sur base du signal x(t).

Le filtre étant supposé linéaire, la sortie peut s'exprimer sous la forme

y(t) = g_h(t) + n_h(t) (6.14)

où g_h(t) et n_h(t) représentent les contributions dues respectivement à g(t) et n(t). Le signal y(t) est illustré à la figure 6.7.

Figure 6.7: Signaux intervenant au cours de la démodulation d'un signal numérique en bande de base: le signal original, le signal à l'entrée du récepteur et le signal à la sortie du filtre.

 

6.4.4.1 Filtre adapté

Une vue réaliste du problème consiste à exiger qu'à l'instant d'échantillonnage, la composante g_h(t) soit la plus grande possible par rapport au bruit introduit par le canal, comme résultat du filtrage. Cela revient à choisir un filtre qui maximisera le rapport de puissance suivant

$$\eta {\frac{{\left\vert g_{h}(T)\right\vert^{2}}}{{E\left\{ n_{h}^{2}(t)\right\} }}}$$ (6.15)

où $\left\vert\vphantom{g_{h}(T)}\right.$g_h(T)$\left.\vphantom{g_{h}(T)}\right\vert^{{2}}_{}$ est la puissance instantanée du signal filtré à l'instant d'échantillonnage T et E$\left\{\vphantom{ n_{h}^{2}(t)}\right.$n_h²(t)$\left.\vphantom{ n_{h}^{2}(t)}\right\}$ = $\sigma_{{N}}^{{2}}$ mesure la puissance moyenne due au bruit à la sortie du filtre. Cherchons donc à effectuer un choix judicieux du filtre h(t).

Après de longs calculs, on montre que la valeur maximale vaut

$$\eta_{{\max}}^{} {\frac{{2}}{{N_{0}}}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{} {\frac{{2E_{b}}}{{N_{0}}}}$$ (6.16)

où l'on a défini l'énergie du signal d'entrée par

Définition 40   [Énergie du signal]

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{} \int_{{0}}^{{T}} \left\vert\vphantom{g(t)}\right. \left.\vphantom{g(t)}\right\vert^{{2}}_{}$$ (6.17)

cette dernière relation résultant du théorème de RAYLEIGH.

En d'autres termes, le rapport signal à bruit au moment de l'échantillonnage est fonction de l'énergie du signal d'entrée et de la puissance du bruit additif; la forme d'onde n'intervient pas directement mais bien son énergie.

6.4.4.2 Propriétés du filtre adapté

Par contre, pour avoir le maximum correspondant à l'égalité, on a supposé que le filtre optimal correspond à

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{cc} kg(T-t) & 0\leq t\leq T\\ 0 & \textrm{ailleurs}\end{array}}\right. \begin{array}{cc} kg(T-t) & 0\leq t\leq T\\ 0 & \textrm{ailleurs}\end{array}$$ (6.18)

À une amplitude près, le filtre optimal, appelé filtre adapté, correspond à l'onde de mise en forme retournée sur la période T.

6.4.4.3 Implémentation du filtre adapté

En pratique, on dispose de plusieurs moyens de réaliser le filtre adapté:

1. Par convolution. C'est l'implémentation directe de la formule de filtrage

   $$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau$$ (6.19)

   
   
   On échantillonne ce signal à l'instant t = T pour obtenir la valeur y[T].
2. Par corrélation. Considérons l'expression de y(t)

   $$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau$$ (6.20)

   
   
   à partir de quoi

   $$\int_{{0}}^{{T}} \tau \tau \tau$$ (6.21)

   
   
   Par faciliter les calculs, on préfère le signal

   $$\int_{{0}}^{{t}} \tau \tau \tau$$ (6.22)

   
   
   En t = T, les deux signaux sont égaux même si ailleurs y(t) $\neq$ z(t). Cela importe peu car c'est la valeur au droit de l'échantillonnage qui nous intéresse.
3. Par intégration. Dans le cas particulier d'un fonction g(t) = 1 sur [0, T], la formule de z(t) se réduit à

   $$\int_{{0}}^{{t}} \tau \tau$$ (6.23)

   
   
   Il s'agit donc d'un simple intégrateur qu'on échantillonnera en t = T.
   Quand l'allure de l'onde de mise en forme s'y prête, l'intégrateur est souvent choisi pour l'implémentation. Il convient néanmoins de remarquer que l'intégrateur doit être remis à 0 après chaque échantillonnage sous peine d'une dérive de la valeur de z(t).