7.4.4 Première phase: filtrage ou corrélation

Le signal de bruit n(t) est un processus de bruit blanc à moyenne nulle et de densité spectrale de puissance N₀/2. On suppose que le récepteur connaît la forme des ondes reçues de sorte que son comportement a pu être optimisé en fonction de ces ondes. L'incertitude résulte de l'addition du bruit n(t). La fonction du récepteur consiste à détecter la nature de l'impulsion g(t) sur base du signal x(t).

Le filtre étant supposé linéaire, la sortie peut s'exprimer sous la forme

y(t) = g_h(t) + n_h(t) (7.68)

où g_h(t) et n_h(t) représentent les contributions dues respectivement à g(t) et n(t). Le signal y(t) est illustré à la figure 7.7.

Figure 7.7: Signaux intervenant au cours de la démodulation d'un signal numérique en bande de base: le signal original, le signal à l'entrée du récepteur et le signal à la sortie du filtre.

 

7.4.4.1 Filtre adapté

Une vue réaliste du problème consiste à exiger qu'à l'instant d'échantillonnage, la composante g_h(t) soit la plus grande possible par rapport au bruit introduit par le canal, comme résultat du filtrage. Cela revient à choisir un filtre qui maximisera le rapport de puissance suivant

$$\eta {\frac{{\left\vert g_{h}(T)\right\vert^{2}}}{{E\left\{ n_{h}^{2}(t)\right\} }}}$$ (7.69)

où $\left\vert\vphantom{g_{h}(T)}\right.$g_h(T)$\left.\vphantom{g_{h}(T)}\right\vert^{{2}}_{}$ est la puissance instantanée du signal filtré à l'instant d'échantillonnage T et E$\left\{\vphantom{ n_{h}^{2}(t)}\right.$n_h²(t)$\left.\vphantom{ n_{h}^{2}(t)}\right\}$ = $\sigma_{{N}}^{{2}}$ mesure la puissance moyenne due au bruit à la sortie du filtre. Cherchons donc à effectuer un choix judicieux du filtre h(t).

Comme

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {H} \mathcal {G} \pi$$ (7.70)

le numérateur de $\eta$ vaut

$$\left\vert\vphantom{g_{h}(T)}\right. \left.\vphantom{g_{h}(T)}\right\vert^{{2}}_{} \left\Vert\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{H}(f)\mathcal{G}(f)e^{2\pi jfT}df}\right. \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {H} \mathcal {G} \pi \left.\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{H}(f)\mathcal{G}(f)e^{2\pi jfT}df}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (7.71)

Il reste à déterminer le dénominateur de $\eta$: la puissance de bruit. On sait que

$$\gamma_{{N_{h}}}^{} {\frac{{N_{0}}}{{2}}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right. \mathcal {H} \left.\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (7.72)

par application du théorème de WIENER-KINTCHINE. Dès lors

$$\left\{\vphantom{ n_{h}^{2}(t)}\right. \left.\vphantom{ n_{h}^{2}(t)}\right\} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \gamma_{{N_{h}}}^{}$$ = (7.73)

$${\frac{{N_{0}}}{{2}}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right. \mathcal {H} \left.\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ = (7.74)

L'inégalité de SCHWARZ établit que si

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \phi_{1}(x)}\right. \phi_{{1}}^{} \left.\vphantom{ \phi_{1}(x)}\right\Vert^{{2}}_{} \infty$$ (7.75)

et

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \phi_{2}(x)}\right. \phi_{{2}}^{} \left.\vphantom{ \phi_{2}(x)}\right\Vert^{{2}}_{} \infty$$ (7.76)

alors

$$\left\Vert\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{1}(x)\phi_{2}(x)dx}\right. \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \phi_{{1}}^{} \phi_{{2}}^{} \left.\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{1}(x)\phi_{2}(x)dx}\right\Vert^{{2}}_{} \leq \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \phi_{1}(x)}\right. \phi_{{1}}^{} \left.\vphantom{ \phi_{1}(x)}\right\Vert^{{2}}_{} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \phi_{2}(x)}\right. \phi_{{2}}^{} \left.\vphantom{ \phi_{2}(x)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (7.77)

Par ailleurs, l'égalité tient à la condition que

$$\phi_{{1}}^{} \phi_{{2}}^{{*}}$$ (7.78)

Dans le cas présent,

$$\left\Vert\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{H}(f)\mathcal{G}(f)e^{2\pi jfT}df}\right. \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {H} \mathcal {G} \pi \left.\vphantom{ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{H}(f)\mathcal{G}(f)e^{2\pi jfT}df}\right\Vert^{{2}}_{} \leq \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right. \mathcal {H} \left.\vphantom{ \mathcal{H}(f)}\right\Vert^{{2}}_{} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (7.79)

Le rapport à maximiser

$$\eta {\frac{{\left\Vert \int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{H}(f)\mathcal... ...N_{0}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left\Vert \mathcal{H}(f)\right\Vert ^{2}df}}}$$ (7.80)

devient donc

$$\eta \leq {\frac{{2}}{{N_{0}}}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (7.81)

D'où la valeur maximale

$$\eta_{{\max}}^{} {\frac{{2}}{{N_{0}}}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{} {\frac{{2E_{b}}}{{N_{0}}}}$$ (7.82)

où l'on a défini l'énergie du signal d'entrée par

Définition 79   [Énergie du signal]

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{} \int_{{0}}^{{T}} \left\vert\vphantom{g(t)}\right. \left.\vphantom{g(t)}\right\vert^{{2}}_{}$$ (7.83)

cette dernière relation résultant du théorème de RAYLEIGH.

En d'autres termes, le rapport signal à bruit au moment de l'échantillonnage est fonction de l'énergie du signal d'entrée et de la puissance du bruit additif; la forme d'onde n'intervient pas directement mais bien son énergie.

7.4.4.2 Propriétés du filtre adapté

Par contre, pour avoir le maximum correspondant à l'égalité, on a supposé que (cf. relation 7.78)

$$\mathcal {H} \mathcal {G} \pi$$ (7.84)

et donc

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {G} \pi$$ (7.85)

Comme pour un signal réel g(t), $\mathcal {G}$^*(f )= $\mathcal {G}$(- f ), on a

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {G} \pi$$ h_opt(t) = (7.86)

= kg(T - t) (7.87)

On peut donc écrire le filtre optimal par

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{cc} kg(T-t) & 0\leq t\leq T\\ 0 & \textrm{ailleurs}\end{array}}\right. \begin{array}{cc} kg(T-t) & 0\leq t\leq T\\ 0 & \textrm{ailleurs}\end{array}$$ (7.88)

À une amplitude près, le filtre optimal, appelé filtre adapté, correspond à l'onde de mise en forme retournée sur la période T.

7.4.4.3 Implémentation du filtre adapté

En pratique, on dispose de plusieurs moyens de réaliser le filtre adapté:

1. Par convolution. C'est l'implémentation directe de la formule de filtrage

   $$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau$$ (7.89)

   
   
   On échantillonne ce signal à l'instant t = T pour obtenir la valeur y[T].
2. Par corrélation. Considérons l'expression de y(t)

   $$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau$$ (7.90)

   
   
   à partir de quoi

   $$\int_{{0}}^{{T}} \tau \tau \tau$$ (7.91)

   
   
   Par faciliter les calculs, on préfère le signal

   $$\int_{{0}}^{{t}} \tau \tau \tau$$ (7.92)

   
   
   En t = T, les deux signaux sont égaux même si ailleurs y(t) $\neq$ z(t). Cela importe peu car c'est la valeur au droit de l'échantillonnage qui nous intéresse.
3. Par intégration. Dans le cas particulier d'un fonction g(t) = 1 sur [0, T], la formule de z(t) se réduit à

   $$\int_{{0}}^{{t}} \tau \tau$$ (7.93)

   
   
   Il s'agit donc d'un simple intégrateur qu'on échantillonnera en t = T.
   Quand l'allure de l'onde de mise en forme s'y prête, l'intégrateur est souvent choisi pour l'implémentation. Il convient néanmoins de remarquer que l'intégrateur doit être remis à 0 après chaque échantillonnage sous peine d'une dérive de la valeur de z(t).