Sous-sections

3.4.3 Boucle à verrouillage de phase

3.4.3.1 Introduction

La boucle à verrouillage de phase (Phase-Locked Loop en anglais ou PLL) est un système largement utilisé pour la détection et la démodulation de signaux modulés. Le principe de la boucle à verrouillage de phase consiste à suivre les variations de phase du signal d'entrée et à fournir en sortie un signal dépendant du taux de variation de la phase d'entrée. Le schéma d'une boucle utilisée pour la démodulation FM est repris à la figure 3.26.

Figure 3.26: Utilisation d'une boucle à verrouillage de phase pour la démodulation FM [1].
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3.4.3.2 Fonctionnement de la PLL

L'entrée de la boucle à verrouillage de phase est un signal FM dont la forme est

sFM(t) = Accos$\displaystyle \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{i}(t)}\right.$2$\displaystyle \pi$fct + $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$(t)$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{i}(t)}\right)$ (3.85)

La phase instantanée $ \phi_{{i}}^{}$(t) est reliée au signal modulant m(t) par

$\displaystyle \phi_{{i}}^{}$(t) = 2$\displaystyle \pi$kf$\displaystyle \int_{{0}}^{{t}}$m(t')dt' (3.86)

ou encore

m(t) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2\pi k_{f}}}}$$\displaystyle {\frac{{d\phi_{i}(t)}}{{dt}}}$ (3.87)

La PLL est articulée autour d'un oscillateur contrôlé en tension (Voltage-Control Oscillator ou VCO) dont la fréquence est proportionnelle au signal d'entrée. La sortie du VCO est une sinusoïde de la forme

s0(t) = B sin$\displaystyle \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{0}(t)}\right.$2$\displaystyle \pi$fct + $\displaystyle \phi_{{0}}^{}$(t)$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{0}(t)}\right)$ (3.88)

En régime, la phase $ \phi_{{0}}^{}$(t) du signal produit localement est liée à la sortie y(t) de la PLL par la relation

$\displaystyle \phi_{{0}}^{}$(t) = 2$\displaystyle \pi$k0$\displaystyle \int_{{0}}^{{t}}$y(t')dt' (3.89)

soit encore

y(t) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2\pi k_{0}}}}$$\displaystyle {\frac{{d\phi_{0}(t)}}{{dt}}}$ (3.90)

Si $ \phi_{{0}}^{}$(t) $ \approx$ $ \phi_{{i}}^{}$(t), y(t) $ \approx$ m(t)(kf/k0) est le signal démodulé à une constante multiplicative près. En d'autres termes, la PLL se comporte comme un dérivateur idéal.

3.4.3.3 Analyse de la PLL

La boucle à verrouillage de phase est constituée d'un mélangeur et d'un filtre passe-bas éliminant les fréquences supérieures à 2fc. Le signal d'erreur e(t) à la sortie du mélangeur vaut

e(t) = sFM(t)s0(t) (3.91)
  = AcB sin$\displaystyle \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{0}}\right.$2$\displaystyle \pi$fct + $\displaystyle \phi_{{0}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{0}}\right)$ cos$\displaystyle \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{i}}\right.$2$\displaystyle \pi$fct + $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\phi_{i}}\right)$ (3.92)
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$AcB$\displaystyle \left[\vphantom{\sin\left(4\pi f_{c}t+\phi_{0}+\phi_{i}\right)+\sin\left(\phi_{0}-\phi_{i}\right)}\right.$sin$\displaystyle \left(\vphantom{4\pi f_{c}t+\phi_{0}+\phi_{i}}\right.$4$\displaystyle \pi$fct + $\displaystyle \phi_{{0}}^{}$ + $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{4\pi f_{c}t+\phi_{0}+\phi_{i}}\right)$ + sin$\displaystyle \left(\vphantom{\phi_{0}-\phi_{i}}\right.$$\displaystyle \phi_{{0}}^{}$ - $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\phi_{0}-\phi_{i}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\sin\left(4\pi f_{c}t+\phi_{0}+\phi_{i}\right)+\sin\left(\phi_{0}-\phi_{i}\right)}\right]$ (3.93)

Si les signaux $ \phi_{{i}}^{}$(t) et $ \phi_{{0}}^{}$(t) varient lentement par rapport à 2$ \pi$fct, la sortie du filtre passe-bas est donnée par

y(t) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$AcB sin$\displaystyle \left(\vphantom{\phi_{0}-\phi_{i}}\right.$$\displaystyle \phi_{{0}}^{}$ - $\displaystyle \phi_{{i}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\phi_{0}-\phi_{i}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$AcB sin$\displaystyle \left(\vphantom{\phi_{i}-\phi_{0}}\right.$$\displaystyle \phi_{{i}}^{}$ - $\displaystyle \phi_{{0}}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\phi_{i}-\phi_{0}}\right)$ (3.94)

Comme d$ \phi_{{0}}^{}$/dt = 2$ \pi$k0y(t), nous obtenons l'équation différentielle non-linéaire suivante:

$\displaystyle {\frac{{d\phi_{0}(t)}}{{dt}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$AcB(2$\displaystyle \pi$k0)sin$\displaystyle \left(\vphantom{\phi_{i}(t)-\phi_{0}(t)}\right.$$\displaystyle \phi_{{i}}^{}$(t) - $\displaystyle \phi_{{0}}^{}$(t)$\displaystyle \left.\vphantom{\phi_{i}(t)-\phi_{0}(t)}\right)$ = K sin$\displaystyle \left(\vphantom{\phi_{i}(t)-\phi_{0}(t)}\right.$$\displaystyle \phi_{{i}}^{}$(t) - $\displaystyle \phi_{{0}}^{}$(t)$\displaystyle \left.\vphantom{\phi_{i}(t)-\phi_{0}(t)}\right)$ (3.95)

où K = - $ {\frac{{1}}{{2}}}$AcB(2$ \pi$k0). Le système est dit synchronisé ou verrouillé si $ \phi_{{0}}^{}$ $ \approx$ $ \phi_{{i}}^{}$. Dans ce cas, nous avons l'approximation linéaire suivante:

$\displaystyle {\frac{{d\phi_{0}(t)}}{{dt}}}$ $\displaystyle \approx$ K$\displaystyle \left[\vphantom{\phi_{i}(t)-\phi_{0}(t)}\right.$$\displaystyle \phi_{{i}}^{}$(t) - $\displaystyle \phi_{{0}}^{}$(t)$\displaystyle \left.\vphantom{\phi_{i}(t)-\phi_{0}(t)}\right]$ (3.96)

Ce modèle linéaire peut être étudié facilement via la transformée de LAPLACE. Nous obtenons ainsi la relation

s$\displaystyle \Phi_{{0}}^{}$(s) = K$\displaystyle \left[\vphantom{\Phi_{i}(s)-\Phi_{0}(s)}\right.$$\displaystyle \Phi_{{i}}^{}$(s) - $\displaystyle \Phi_{{0}}^{}$(s)$\displaystyle \left.\vphantom{\Phi_{i}(s)-\Phi_{0}(s)}\right]$ (3.97)

ou encore

$\displaystyle \Phi_{{0}}^{}$(s) = $\displaystyle {\frac{{K}}{{s+K}}}$$\displaystyle \Phi_{{i}}^{}$(s) (3.98)

Comme d$ \phi_{{0}}^{}$/dt = 2$ \pi$k0y(t) et d$ \phi_{{i}}^{}$/dt = 2$ \pi$kfm(t), nous avons $ \mathcal {Y}$(s) = s$ \Phi_{{0}}^{}$(s)/(2$ \pi$k0) et $ \Phi_{{i}}^{}$(s) = 2$ \pi$kf$ \mathcal {M}$(s)/s. Nous obtenons ainsi

$\displaystyle \mathcal {Y}$(s) = $\displaystyle {\frac{{s\Phi_{0}(s)}}{{2\pi k_{0}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{Ks}}{{2\pi k_{0}(s+K)}}}$$\displaystyle \Phi_{{i}}^{}$(s) (3.99)

et

$\displaystyle \mathcal {Y}$(s) = $\displaystyle {\frac{{(k_{f}/k_{0})}}{{s+K}}}$K$\displaystyle \mathcal {M}$(s) (3.100)

Pour la démodulation du signal FM, il serait intéressant d'avoir y(t) $ \approx$ m(t) ou $ \mathcal {Y}$(s) $ \approx$ $ \mathcal {M}$(s). Si K $ \gg$ 1, nous avons $ \mathcal {Y}$(s) $ \approx$ (kf/k0)$ \mathcal {M}$(s) et la démodulation est satisfaisante. Il est important de remarquer que ce résultat est valable uniquement si la PLL est verrouillée sur la phase du signal FM ou lorsque l'erreur de phase $ \phi_{{i}}^{}$ - $ \phi_{{0}}^{}$ est petite. Si cette erreur est trop importante, le signal de sortie subit des distorsions. Naturellement, durant la phase d'acquisition, l'erreur de phase est trop grande pour que le modèle linéaire soit acceptable.

3.4.3.4 Un modèle à contre-réaction pour décrire la PLL

Sous condition de verrouillage, un modèle général à contre-réaction peut être développé pour la PLL. Ce modèle est montré à la figure 3.27. À nouveau, l'objectif est de suivre la phase instantanée $ \phi_{{i}}^{}$(t) du signal d'entrée. Le bloc de contre-réaction K/s décrit l'effet du VCO et produit une phase qui varie avec y(t). En fonctionnement linéaire, la sortie du détecteur (mélangeur et filtre passe-bas) est approximativement égale à $ \phi_{{i}}^{}$ - $ \phi_{{0}}^{}$ et son effet est modélisé par la sommation du schéma.

Figure 3.27: Modèle de PLL à contre-réaction.
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Nous obtenons les fonctions de transfert suivantes

$\displaystyle \mathcal {T}$(s) = $\displaystyle {\frac{{\mathcal{Y}(s)}}{{\mathcal{M}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{K\mathcal{H}(s)}}{{s+K\mathcal{H}(s)}}}$ (3.101)

$\displaystyle {\frac{{\Phi_{0}(s)}}{{\Phi_{i}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{K\mathcal{H}(s)}}{{s+K\mathcal{H}(s)}}}$ (3.102)

$\displaystyle {\frac{{\mathcal{Y}(s)}}{{\Phi_{i}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{s\mathcal{H}(s)}}{{s+K\mathcal{H}(s)}}}$ (3.103)

La fonction de transfert de l'erreur de phase, définie par $ \left[\vphantom{\Phi_{i}(s)-\Phi_{0}(s)}\right.$$ \Phi_{{i}}^{}$(s) - $ \Phi_{{0}}^{}$(s)$ \left.\vphantom{\Phi_{i}(s)-\Phi_{0}(s)}\right]$/$ \Phi_{{i}}^{}$(s), est donnée par

$\displaystyle {\frac{{\Phi_{i}(s)-\Phi_{0}(s)}}{{\Phi_{i}(s)}}}$ = 1 - $\displaystyle {\frac{{\Phi_{0}(s)}}{{\Phi_{i}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{s}}{{s+K\mathcal{H}(s)}}}$ (3.104)

Pour un gain en boucle ouverte important ( $ \left\vert\vphantom{K\mathcal{H}(s)}\right.$K$ \mathcal {H}$(s)$ \left.\vphantom{K\mathcal{H}(s)}\right\vert$ $ \gg$ 1), nous avons $ \mathcal {T}$(s) = $ \mathcal {Y}$(s)/$ \mathcal {M}$(s) $ \approx$ 1, et le signal de sortie y(t) est égal au signal modulant m(t). Si la phase d'entrée $ \phi_{{i}}^{}$(t) ne varie pas, le signal d'erreur $ \phi_{{i}}^{}$(t) - $ \phi_{{0}}^{}$(t) est nul, ainsi que le signal de sortie.

3.4.3.5 Implémentation

Le bloc $ \mathcal {H}$(s) de la figure 3.27 peut être réalisé par un filtre actif ou passif. Si $ \mathcal {H}$(s) = 1, nous obtenons une boucle du premier ordre avec $ \mathcal {T}$(s) = K/(s + K). Sa réponse fréquentielle (régime établi) ainsi que l'erreur de phase peuvent respectivement s'écrire

$\displaystyle {\frac{{\mathcal{Y}(f)}}{{\mathcal{M}(f)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\Phi_{0}(f)}}{{\Phi_{i}(f)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{K}}{{K+2\pi jf}}}$ (3.105)

et

$\displaystyle {\frac{{\Phi_{i}(f)-\Phi_{0}(f)}}{{\Phi_{i}(f)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2\pi jf}}{{K+2\pi jf}}}$ (3.106)

Le gain K de la boucle caractérise complètement la réponse de la boucle fermée. Si $ \mathcal {H}$(s) est un système du premier ordre de la forme $ \mathcal {H}$(s) = (s$ \tau_{{2}}^{}$ +1)/(s$ \tau_{{1}}^{}$ + $ \alpha$), nous obtenons une boucle du second ordre dont la réponse fréquentielle et l'erreur de phase sont données par

$\displaystyle {\frac{{\mathcal{Y}(s)}}{{\mathcal{M}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\Phi_{0}(s)}}{{\Phi_{i}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{K(s\tau_{2}+1)}}{{\tau_{1}s^{2}+(\alpha+K\tau_{2})s+K}}}$ (3.107)

$\displaystyle {\frac{{\Phi_{0}(s)-\Phi_{i}(s)}}{{\Phi_{i}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{s}}{{s+K\mathcal{H}(s)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{s(s\tau_{1}+\alpha)}}{{\tau_{1}s^{2}+(\alpha+K\tau_{2})s+K}}}$ (3.108)

Les paramètres K, $ \alpha$, $ \tau_{{1}}^{}$ et $ \tau_{{2}}^{}$ sont choisis afin de maintenir l'erreur de phase la plus faible possible tout en minimisant les distorsions sur le signal de sortie.

3.4.3.6 Boucle à verrouillage de phase numérique

La boucle à verrouillage de phase est un circuit fondamental. Son fonctionnement est de type analogique. Actuellement, il existe des boucles entièrement numériques qui réalisent la même fonction. Elles procèdent par échantillonnage et stockage des signaux.

Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2005-03-11