4.2.1 Axiomatique des probabilités

On considère lors d'une expérience aléatoire, l'ensemble $\Omega$ de toutes les descriptions possibles du résultat de cette expérience. Un élément de $\Omega$, noté $\omega$ dans la suite, décrit une réalisation particulière de l'expérience en cours et sera appelé épreuve. Un événement A est décrit par une propriété caractéristique susceptible d'être vérifiée lors de différentes épreuves. Par conséquent, un événement est un sous-ensemble de $\Omega$, A $\subseteq$ $\Omega$. Il faut bien noter que la description des résultats d'une expérience aléatoire est totalement subjective et laissée à l'appréciation de l'observateur.

Historiquement, la définition de la probabilité d'un événement a été basée sur la fréquence d'apparition de cet événement: à savoir le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. On sait que cette approche bien que très parlante à l'intuition, reste floue et conduit à des ambiguïtés. Il faut prendre conscience que les traitements de plus en plus raffinés que l'on fait subir aujourd'hui aux signaux, ne peuvent se contenter d'un point de vue probabiliste aussi élémentaire.

Il est intéressant d'associer à une expérience aléatoire et ses résultats possibles, un espace et ses points. Nous notons alors $\omega_{{k}}^{}$ le point associé au k-ième résultat possible de l'expérience. L'ensemble de tous les points résultant de l'association de tous les résultats possibles de l'expérience est appelé espace témoin, que nous noterons $\Omega$. Un événement peut correspondre à un point ou à un ensemble de points de $\Omega$. En particulier, l'ensemble de tous les points de $\Omega$ est appelé événement certain et l'ensemble vide est appelé événement impossible. Un point seul est finalement appelé événement élémentaire.

Considérons, à titre d'exemple, l'expérience du lancer de dé. Dans cette expérience, 6 résultats sont possibles: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sur la face supérieure du dé. En assignant un point à chacun de ces résultats, on obtient un espace témoin à une dimension contenant 6 points, comme le montre la figure 4.1. L'événement élémentaire tirer un 5 correspond au point $\left\{\vphantom{ 5}\right.$5$\left.\vphantom{ 5}\right\}$ de l'espace tandis que l'événement tirer un chiffre pair correspond au sous-ensemble $\left\{\vphantom{ 2,\,4,\,6}\right.$2, 4, 6$\left.\vphantom{ 2,\,4,\,6}\right\}$.

Figure 4.1: Espace témoin de l'expérience du lancer de dé.

 

En théorie des probabilités, on introduit un ensemble noté $\Omega$ dont les éléments $\omega$ symbolisent les différentes épreuves d'une expérience aléatoire. Par épreuve il faut entendre une réalisation possible de l'expérience.

La théorie des probabilités ne s'intéresse qu'aux ensembles d'événements qui possèdent une structure particulière appelée tribu. Une tribu ou $\sigma$-algèbre $\mathcal {F}$ sur $\Omega$ est une famille d'événements (sous-ensembles) de $\Omega$ telle que:

• $\Omega$ et $\emptyset$ sont dans $\mathcal {F}$,
• si A $\in$ $\mathcal {F}$ alors le complémentaire de A, noté $\bar{{A}}$, appartient à $\mathcal {F}$,
• si la suite A_{n $\in$ $\mathbb {N}$} $\in$ $\mathcal {F}$ alors $\bigcup_{{n\in\mathbb{N}}}^{}$A_n $\in$ $\mathcal {F}$ (union dénombrable permise).

Le couple ($\Omega$,$\mathcal {F}$) est dit espace mesurable.

En pratique, on est intéressé par la probabilité d'un événement. Par définition, une mesure de probabilité est une application P de la tribu des événements $\mathcal {F}$ vers $\mathbb {R}$ composée comme suit:

1. Un espace témoin $\Omega$ d'événements élémentaires.
2. Une classe $\mathcal {L}$ d'événements qui sont des sous-ensembles de $\Omega$.
3. Une mesure de la probabilité p(.) associée à chaque événement A de la classe $\mathcal {L}$ et qui a les propriétés suivantes:
   1. p($\Omega$) = 1
   2. 0 $\leq$ p(A) $\leq$ 1
   3. Si la suite A_{n $\in$ $\mathbb {N}$} $\in$ $\mathcal {F}$ avec A_i $\cap$ A_j = $\emptyset$ pour i $\neq$ j alors p($\bigcup_{{n\in\mathbb{N}}}^{}$A_n) = $\sum_{{n\in\mathbb{N}}}^{}$p(A_n).

Un espace probabilisé est un triplet ($\Omega$,$\mathcal {F}$,$\mathcal {P}$) où $\Omega$ est un ensemble quelconque, $\mathcal {F}$ est une tribu de $\Omega$, $\mathcal {F}$ étant un sous-ensemble de $\Omega$, et P est une mesure positive définie sur $\mathcal {F}$, appelée probabilité, telle que P($\Omega$) = 1.

Les propriétés (a), (b) et (c) sont connues comme axiomes des probabilités. L'axiome (a) indique que la probabilité de l'événement certain vaut 1. L'axiome (b) indique que la probabilité d'un événement est un nombre réel non négatif, inférieur ou égal à 1. Finalement, étant donné que A et B sont deux événements mutuellement exclusifs, l'axiome (c) indique que la probabilité que l'événement A se produise ou que l'événement B se produise est égale à la somme des probabilités respectives de ces deux événements.

Propriétés.

1. p(A^c) = 1 - p(A) où A^c (appelé ``non A'') est le complément de A.
2. Si M événements mutuellement exclusifs A₁, A₂, ..., A_M ont la propriété suivante:

   $$\Omega$$ (4.3)

   
   
   alors

   p(A₁) + p(A₂) +...+ p(A_M) = 1 (4.4)

   
   

3. Si les événements A et B ne sont pas mutuellement exclusifs, la probabilité de l'événement union `` AouB'' égale

   $$\cup \cap$$ (4.5)

   
   
   où p(A $\cup$ B) est la probabilité de l'événement joint `` AetB''.

Définition 22   p(A $\cap$ B) est appelée probabilité conjointe. Nous avons l'interprétation suivante:

$$\cap \lim_{{n\rightarrow\infty}}^{} \left(\vphantom{\frac{N_{n}(A\cap B)}{n}}\right. {\frac{{N_{n}(A\cap B)}}{{n}}} \left.\vphantom{\frac{N_{n}(A\cap B)}{n}}\right)$$ (4.6)

où N_n(A $\cap$ B) est le nombre de fois que les événements A et B se réalisent simultanément, n étant le nombre de fois que l'expérience a été répétée.

L'axiome (c) est un cas particulier de la relation 4.5. Quand A et B sont mutuellement exclusifs, p(A $\cap$ B) = 0.

Probabilité conditionnelle

Définition 23   p(B| A) est appelée probabilité conditionnelle. Elle représente la probabilité de l'événement B, étant donné que l'événement A s'est réalisé. En supposant que p(A) $\neq$ 0, la probabilité conditionnelle p(B| A) est définie par

$${\frac{{p(A\cap B)}}{{p(A)}}}$$ (4.7)

où p(A $\cap$ B) est la probabilité conjointe de A et B.

Nous pouvons réécrire l'équation 4.7 comme

$$\cap$$ (4.8)

Il est évident que nous pouvons écrire également

$$\cap$$ (4.9)

Il existe des situations pour lesquelles la probabilité conditionnelle p(B| A) et les probabilités p(A) et p(B) peuvent être déterminées aisément alors que la probabilité conditionnelle p(A| B) est inconnue. À partir de 4.8 et 4.9, il est possible de déterminer p(A| B) en utilisant la relation

$${\frac{{p({B\vert A})p({A})}}{{p({B})}}}$$ (4.10)

qui constitue une forme spéciale de la formule de BAYES.

Proposition 24   Formule de BAYES

$${\frac{{p({B\vert A_{i}})p({A_{i}})}}{{\sum_{j=1}^{N}p({B\vert A_{j}})p({A_{j}})}}}$$ (4.11)

Elle permet le calcul des probabilités a posteriori p(A_i| B) en terme de probabilités a priori p(B| A_i).

Supposons maintenant que la probabilité conditionnelle p(B| A) soit simplement égale à la probabilité d'occurrence de l'événement B, c'est-à-dire

p(B| A) = p(B) (4.12)

Sous cette condition, la probabilité de l'événement joint A $\cap$ B est égale à

$$\cap$$ (4.13)

Dès lors,

p(A| B) = p(A) (4.14)

Nous voyons que dans ce cas, la connaissance de l'occurrence d'un des deux événements ne nous renseigne pas plus sur la probabilité d'occurrence de l'autre événement. Des événements A et B qui satisfont cette condition sont dits statistiquement indépendants.