4.3.4 Variables aléatoires usuelles

1. Variable aléatoire continue et uniforme
   Une variable aléatoire X présente une densité de probabilité uniforme sur l'intervalle (a, b) si

   $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} 0 & & x\leq a\\ \frac{1}{b-a} & & a<x\leq b\\ 0 & & x>b\end{array}}\right. \begin{array}{ccc} 0 & & x\leq a\\ \frac{1}{b-a} & & a<x\leq b\\ 0 & & x>b\end{array}$$ (4.37)

   
   
   La fonction de répartition de X est alors donnée par

   $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} 0 & & x\leq a\\ \frac{x-a}{b-a} & & a<x\leq b\\ 0 & & x>b\end{array}}\right. \begin{array}{ccc} 0 & & x\leq a\\ \frac{x-a}{b-a} & & a<x\leq b\\ 0 & & x>b\end{array}$$ (4.38)

   
   
   La figure 4.2 montre le graphe de ces deux fonctions.
   

   Figure 4.2: Variable uniforme: (a) fonction de densité de probabilité, (b) fonction de répartition.

    
   

2. Variable binomiale ou variable de BERNOUILLI
   Soit X une variable aléatoire discrète. La variable X présente une densité binomiale d'ordre n si elle peut prendre les valeurs 0, 1, ..., n de telle sorte que

   p(X=k) = C_n^kp^kq^n-k      avec       p + q = 1 (4.39)

   
   
   où

   $${\frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}}$$ (4.40)

   
   
   La fonction de densité de probabilité de X est donnée par

   $$\sum_{{k=0}}^{{n}} \delta$$ (4.41)

   
   
   La fonction de répartition de X est une fonction en escaliers donnée par

   $$\sum_{{k=0}}^{{m}} \leq$$ (4.42)

   
   
   La loi binomiale est utilisée pour le dénombrement d'événements.
3. Variable aléatoire de POISSON
   Soit X une variable aléatoire discrète. La variable X présente une densité de POISSON, avec un paramètre $\lambda$, si elle peut prendre les valeurs 0, 1,..., n,... de telle sorte que

   $$\lambda {\frac{{\lambda^{k}}}{{k!}}}$$ (4.43)

   
   
   La fonction de densité de probabilité de X est donnée par

   $$\lambda \sum_{{k=0}}^{{\infty}} {\frac{{\lambda^{k}}}{{k!}}} \delta$$ (4.44)

   
   
   Comme pour la variable binomiale, la fonction de répartition est une fonction en escalier.
4. Variable aléatoire gaussienne ou normale
   Soit X une variable aléatoire de moyenne $\mu_{{X}}^{}$ et de variance $\sigma_{{X}}^{{2}}$. Cette variable présente une densité de probabilité gaussienne ou normale si, pour - $\infty$ < x < + $\infty$, elle a la forme

   $${\frac{{1}}{{\sigma_{X}\sqrt{2\pi}}}} {\frac{{\left(x-\mu_{X}\right)^{2}}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$$ (4.45)

   
   

Deux résultats classiques permettent de rattacher la probabilité d'un événement et la fréquence d'apparition obtenue lors d'une séquence supposée finie d'essais répétés. Le premier porte le nom de loi des grands nombres (c'est en fait un théorème) et le second porte le nom de théorème de la limite centrale.

Ainsi, la loi de GAUSS joue un rôle privilégié à cause de l'existence du théorème de la limite centrale dont voici l'une des expressions.

Théorème 36   [Limite centrale] Si {X_i} est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, centrées et de variance égale à 1, alors la fonction de répartition F_Y(y) de la variable aléatoire

$${\frac{{1}}{{N}}} \sum_{{i=1}}^{{N}}$$ (4.46)

vérifie

$$\lim_{{N\rightarrow+\infty}}^{} \int_{{-\infty}}^{{y}} {\frac{{1}}{{\sqrt{2\pi}}}} {\frac{{u^{2}}}{{2}}}$$ (4.47)

Son application sur le plan pratique conduit à considérer comme gaussien un phénomène qui est la superposition d'un grand nombre d'effets élémentaires ayant la même origine: erreurs de mesure, bruit de fond des récepteurs.