Table des matières of 4.4.1 Définition des processus et suites aléatoires

4.4.1 Définition des processus et suites aléatoires

Considérons une expérience aléatoire caractérisée par ses résultats possibles $\omega$ de l'espace témoin $\Omega$ , ses événements définis sur $\Omega$ et les probabilités associées à ces événements. Supposons que, à chaque point $\omega$ de l'espace témoin, nous associons une fonction du temps dénotée

X(t, $\displaystyle \omega$ ) - T $\displaystyle \leq$ t $\displaystyle \leq$ T

(4.81)

où 2T est l'intervalle d'observation total. Pour chaque point fixé $\omega_{{j}}^{}$ , le graphe de X(t, $\omega_{{j}}^{}$ ) en fonction du temps t est appelée réalisation du processus aléatoire.

**Figure 4.5:** Un ensemble de réalisations du processus aléatoire X(t).

La figure 4.5 donne une illustration d'un ensemble de réalisations. De cette figure, nous pouvons noter que, pour un temps t_k fixé dans l'intervalle d'observation, l'ensemble de nombres

$\displaystyle \left\{\vphantom{ X(t_{k},\omega_{1}),X(t_{k},\omega_{2}),...,X(t_{k},\omega_{n})}\right.$ X(t_k, $\displaystyle \omega_{{1}}^{}$ ), X(t_k, $\displaystyle \omega_{{2}}^{}$ ),..., X(t_k, $\displaystyle \omega_{{n}}^{}$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{ X(t_{k},\omega_{1}),X(t_{k},\omega_{2}),...,X(t_{k},\omega_{n})}\right\}$

(4.82)

constitue une variable aléatoire de dimension n, ou ce qu'on appelle également une suite aléatoire. Il faut remarquer qu'une suite aléatoire peut également être définie par un ensemble quelconque de n variables aléatoires.

Pour simplifier les notations, il est commode de supprimer le $\omega$ et d'utiliser X(t) pour dénoter un processus aléatoire. Nous noterons également x(t) une réalisation du processus aléatoire X(t).