8.2.1 Processus de dénombrement

Pour la modélisation de la distribution des appels, nous allons partir d'un processus aléatoire de dénombrement ou de comptage D(t) qui détermine pour tout temps t le nombre d'appels initiés après t = 0 . Autrement dit, D(t) compte le nombre d'appels effectués pendant l'intervalle ]0, t] . Il s'agit bien évidemment d'un processus à valeurs entières dont les réalisations se représentent sous la forme d'une fonction en escaliers. À la figure 8.4, on constate qu'au temps t = 8$\Delta$T , cinq appels ont été initiés.

Figure 8.4: Réalisations d'un processus de comptage.

 

Plutôt que cette courbe, c'est le nombre d'occurrences pendant tout intervalle [t₁, t₂] qui nous intéresse; après tout, on devra bien se choisir une durée typique pour l'analyse. Imaginons que l'on puisse découper l'axe temporel en intervalles de largeur $\triangle$T tellement étroits qu'ils contiennent tout au plus une occurrence. Chacun de ces intervalles, référencés par ]n$\triangle$T,(n + 1)$\triangle$T] , est le lieu d'une variable aléatoire binaire D_n . Dès lors, D_n = 1 implique qu'une tentative d'appel a été menée pendant l'intervalle de temps ]n$\triangle$T,(n + 1)$\triangle$T] , D_n = 0 mentionne qu'aucune tentative d'appel n'a été menée pendant cet intervalle. À supposer que ces variables aléatoires soient indépendantes, la résultante n'est autre qu'une loi binomiale.

Par généralisation, pour toute constante positive $\lambda$ > 0 , il est possible de choisir une valeur pour $\triangle$T telle que $\lambda$$\triangle$T < 1 (pour pouvoir définir une probabilité). Si $\lambda$$\triangle$T représente la probabilité de réussite^8.3 de chacune des variables D₁, D₂, ... , considérant un intervalle de temps T = m$\triangle$T , on obtient les probabilités suivantes:

1. probabilité d'avoir n tentatives d'appels pendant la durée T et donc sur les m intervalles de temps $\Delta$T (n réussites pour la loi binomiale):

   $$\lambda \Delta \left(\vphantom{\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{n}}_{}$$ (8.8)

   
   

2. probabilité d'avoir m - n intervalles de temps $\Delta$T sans tentative d'appel (m - n échecs)

   $$\lambda \Delta \left(\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right. {\frac{{\lambda T}}{{m}}} \left.\vphantom{1-\frac{\lambda T}{m}}\right)^{{m-n}}_{}$$ (8.9)

   
   

Le nombre d'occurrences D_m obtenues pendant un intervalle de temps T = m$\triangle$T obéit dès lors à la fonction de densité de probabilité suivante (loi binomiale)

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} C_{m}^{n}\left(\frac{\lambda ... ...m-n} & n=0, 1, \ldots, m 0 & n\neq0, 1, \ldots, m\end{array}}\right. \begin{array}{ll} C_{m}^{n}\left(\frac{\lambda T}{m}\right)^{n}\l... ...right)^{m-n} & n=0, 1, \ldots, m 0 & n\neq0, 1, \ldots, m\end{array}$$ (8.10)

où C_mⁿ = ${\frac{{m!}}{{n!(m-n)!}}}$ . La variable aléatoire D_m , représentant le nombre de tentatives d'appel pendant l'intervalle de temps T , est une variable aléatoire binomiale de moyenne m(${\frac{{\lambda T}}{{m}}}$) = $\lambda$T . Le paramètre $\lambda$ représente donc le nombre moyen de tentatives d'appels par unité de temps tandis que $\lambda$T représente le nombre moyen de tentatives d'appels sur l'intervalle de temps T .

Notes

... réussite^8.3

Et donc (1 - $\lambda$$\Delta$T) représente l'absence de tentative.