1.2.2 Transformée de FOURIER discrète

1.2.2.1 Spectre d'une séquence déterministe

Prenons une séquence déterministe x[nT_s] non périodique et échantillonnée avec une période T_s .

Définition 1   [Transformée de FOURIER à temps discret] La transformée de FOURIER à temps discret (dtFT) de cette séquence est définie par

$$\mathcal {X} \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ (1.13)

Il ne s'agit ni plus ni moins que de la transformée de FOURIER du signal échantillonné. En effet, la fonction échantillonnée x_s(t) est liée au signal sous-jacent par la relation

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \delta$$ (1.14)

La transformée de FOURIER de ce signal vaut

$$\mathcal {X} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \pi$$ = (1.15)

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \delta \pi$$ = (1.16)

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ = (1.17)

On remarquera que cette fonction est continue et périodique de période f_s = ${\frac{{1}}{{T_{s}}}}$ ; la connaissance de cette fonction sur l'intervalle [0, f_s[ suffit donc. En effet,

$$\mathcal {X} \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \pi \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \pi \pi \mathcal {X}$$ (1.18)

Ce phénomène est bien connu: l'échantillonnage dans le domaine temporel entraîne l'apparition de copies de la transformée au droit des fréquences multiples de f_s . Il est d'usage de définir une fréquence normalisée ou fréquence réduite F par

$${\frac{{f}}{{f_{s}}}}$$ (1.19)

de sorte que F parcourt l'intervalle [0, 1[ ou [- ${\frac{{1}}{{2}}}$,${\frac{{1}}{{2}}}$[ . Si en plus de l'utilisation de la fréquence normalisée, on adopte l'écriture x[n] en lieu et place de x[nT_s] , la transformée de FOURIER à temps discret s'exprime sous la forme normalisée suivante.

Définition 2   [Transformée de FOURIER à temps discret normalisée]

$$\mathcal {X} \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ (1.20)

On déduit la formule inverse

$$\int_{{-\frac{1}{2}}}^{{\frac{1}{2}}} \mathcal {X} \pi$$ (1.21)

ou

$$\int_{{0}}^{{1}} \mathcal {X} \pi$$ (1.22)

1.2.2.2 Convergence

On montre [5, page 45] que si la séquence x[n] est de module sommable, c'est-à-dire si

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ x[n]}\right. \left.\vphantom{ x[n]}\right\Vert \infty$$ (1.23)

la transformée converge uniformément vers une fonction continue de F .

Si, par contre, x[n] est de carré sommable, à savoir

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ x[n]}\right. \left.\vphantom{ x[n]}\right\Vert^{{2}}_{} \infty$$ (1.24)

sans être de module sommable, alors la série converge en moyenne quadratique. Il peut ne pas y avoir convergence uniforme. La fonction $\left\Vert\vphantom{ \mathcal{X}(f)}\right.$$\mathcal {X}$(f )$\left.\vphantom{ \mathcal{X}(f)}\right\Vert^{{2}}_{}$ est désignée par le terme de spectre. Dans la littérature, ce terme est aussi associé à la fonction $\left\Vert\vphantom{ \mathcal{X}(f)}\right.$$\mathcal {X}$(f )$\left.\vphantom{ \mathcal{X}(f)}\right\Vert$ . Les deux expressions deviennent équivalentes si l'on utilise l'échelle logarithmique des décibels.

Exemple. Transformée de FOURIER d'un signal rectangulaire.

Considérons une fonction rectangulaire rect_N[n] valant 1 pour n $\in$ { - N, ..., N} et 0 ailleurs. On calcule alors

$$\mathcal {X} \sum_{{n=-N}}^{{N}} \pi$$ = (1.25)

$$\pi \pi$$ = (1.26)

$$\pi {\frac{{(1-e^{-2\pi jF(2N+1)})}}{{1-e^{-2\pi jF}}}}$$ = (1.27)

$${\frac{{\sin((2N+1)\pi F)}}{{\sin(\pi F)}}}$$ = (1.28)

Ce signal est purement réel; il est représenté à la figure 1.1 pour deux valeurs de N .

Figure 1.1: Transformées de FOURIER d'un signal rectangulaire (N = 2 et N = 5 ).

La transformée inverse a pour expression

$$\int_{{0}}^{{1}} \mathcal {X} \pi$$ (1.29)

La fonction complexe $\mathcal {X}$(F) peut aussi s'exprimer sous la forme

$$\mathcal {X} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{X}(F)}\right. \mathcal {X} \left.\vphantom{ \mathcal{X}(F)}\right\Vert \phi$$ (1.30)

dont le terme d'amplitude est appelé spectre d'amplitude de x[n].

Exemple. Impulsion de DIRAC discrète décalée.

Considérons le signal

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1, & n=1 0, & n\neq1\end{array}}\right. \begin{array}{ll} 1, & n=1 0, & n\neq1\end{array} \delta$$ (1.31)

$$\mathcal {X} \pi$$ (1.32)

1.2.2.3 Énergie

Tout comme dans le cas d'une fonction continue, l'énergie du signal est conservée par rapport à sa transformée de FOURIER.

Définition 3   L'énergie totale du signal vaut

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ x[n]}\right. \left.\vphantom{ x[n]}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (1.33)

Proposition 4   L'égalité de PARSEVAL s'exprime sous la forme

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ x[n]}\right. \left.\vphantom{ x[n]}\right\Vert^{{2}}_{} \int_{{0}}^{{1}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{X}(F)}\right. \mathcal {X} \left.\vphantom{ \mathcal{X}(F)}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (1.34)

1.2.2.4 Séquence périodique

Le cas des séquences périodiques est particulier car cette périodicité résulte généralement d'une opération d'échantillonnage; il s'agit alors d'une périodicité fictive.

Définition 5   Une séquence est périodique s'il existe une valeur entière N telle que

x[n] = x[n + N] (1.35)

pour toute valeur n .