1.2.3 Transformée de FOURIER discrète

Le calcul de la transformée en temps discret à partir des échantillons de la séquence aboutit à une fonction continue peu commode pour des traitements numériques. Dès lors, on procède à l'échantillonnage de la transformée. Son intérêt réside dans le fait que son calcul se limite à un nombre fini d'échantillons tant dans le domaine temporel que dans le domaine transformé.

Définition 6   [Transformée de FOURIER discrète (DFT)]

$$\mathcal {X} \sum_{{n=0}}^{{N-1}} \pi {\frac{{k}}{{N}}} \in$$ (1.36)

L'échantillonnage de la fonction dans le domaine spectral introduit une reproduction de la séquence échantillonnée dans le domaine temporel; la période fondamentale est N . Ce choix est commun mais il n'est pas obligatoire: on aurait pu choisir une période d'échantillonnage différente à N pour échantillonner la transformée de FOURIER. L'analyse des propriétés de la DFT montre des similitudes avec celles de la dtFT, à une exception près: les calculs se font modulo N.

Proposition 7   [Égalité de PARSEVAL]

$$\sum_{{n=0}}^{{N-1}} \left\Vert\vphantom{ x[n]}\right. \left.\vphantom{ x[n]}\right\Vert^{{2}}_{} {\frac{{1}}{{N}}} \sum_{{k=0}}^{{N-1}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{X}(F_{k})}\right. \mathcal {X} \left.\vphantom{ \mathcal{X}(F_{k})}\right\Vert^{{2}}_{} {\frac{{k}}{{N}}}$$ (1.37)

Comme le signal périodique a une énergie infinie, on utilisera plutôt la notion de puissance moyenne de la séquence définie par

$${\frac{{1}}{{N}}} \sum_{{n=0}}^{{N-1}} \left\Vert\vphantom{ x[n]}\right. \left.\vphantom{ x[n]}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (1.38)

soit encore

$${\frac{{1}}{{N^{2}}}} \sum_{{n=0}}^{{N-1}} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{X}(F_{k})}\right. \mathcal {X} \left.\vphantom{ \mathcal{X}(F_{k})}\right\Vert^{{2}}_{} {\frac{{k}}{{N}}}$$ (1.39)