10.2.4 Masquage

10.2.4.1 Base physique

Le masquage provient de la présence d'obstacles. En première approximation, on peut considérer qu'un obstacle absorbe un certain pourcentage de la puissance. Ainsi, la puissance transmise ou diffractée ne représente qu'un certain pourcentage de la puissance incidente. De même, la présence d'une vitre se traduit par une certaine diminution de puissance.

Pour modéliser les effets de masquage (shadowing en anglais), aussi appelé évanouissement lent, nous partons de l'hypothèse suivante. Supposons que toutes les contributions de masquage à l'affaiblissement A , en terme de puissance, soient dues à des facteurs multiplicatifs A₁, A₂, ..., A_N , tous inférieurs à 1 , tels que

A = A₁ x A₂ x...x A_N (10.4)

représente l'affaiblissement de masquage^10.4.

Dès lors qu'il y a masquage, la puissance reçue P_R vaut

P_R = (P_E x A_PL) x A₁ x A₂ x...x A_N (10.5)

où A_PL est l'affaiblissement de parcours.

En décibels, l'atténuation totale vaut

L_totale = L_PL + L = L_PL + L₁ + L₂ +...+ L_N (10.6)

Plus spécifiquement, l'atténuation de masquage L est la somme des N contributions

L = L₁ + L₂ +...+ L_N (10.7)

Si toutes les contributions sont des variables aléatoires de mêmes espérance et variance, L est une variable aléatoire normale par application du théorème de la limite centrale:

$$\sigma_{{s}}^{} \sigma_{{s}}^{{2}}$$ (10.8)

tel que L_50% est la valeur médiane de l'atténuation et $\sigma_{{s}}^{}$ [dB] sa variance.

En unités naturelles et en écrivant N(0, 1) = X , l'affaiblissement vaut

$$\sigma_{{s}}$$ L = (10.9)

$$\sigma_{{s}}$$ = (10.10)

où L_o = 10^{L_50% [dB]/10} et

$$\sigma_{{s}}$$ (10.11)

est une loi log-normale.

10.2.4.1.1 Densité de probabilité d'une loi log-normale.

Pour calculer la densité de probabilité de la log-normale, on part de l'expression de la gaussienne. Soit X une variable aléatoire gaussienne centrée, de variance unitaire. Sa densité de probabilité vaut, pour x $\in$ [- $\infty$, + $\infty$] ,

$${\frac{{1}}{{\sqrt{2\pi}}}} {\frac{{x^{2}}}{{2}}}$$ (10.12)

On définit ensuite la variable aléatoire log-normale V de la manière suivante

$${\frac{{\sigma_{s}X}}{{10}}} \beta \sigma_{{s}}$$ (10.13)

où

$$\beta {\frac{{\ln(10)}}{{10}}}$$ (10.14)

La fonction de répartition de V vaut [21, page 152]

$$\leq \beta \sigma_{{s}} \leq \leq {\frac{{\ln v}}{{\beta\sigma_{s}}}}$$ F_V(v) = (10.15)

$$\int_{{-\infty}}^{{\ln v/\beta\sigma_{s}}} {\frac{{1}}{{\sqrt{2\pi}}}} \int_{{-\infty}}^{{\ln v/\beta\sigma_{s}}} {\frac{{x^{2}}}{{2}}}$$ = (10.16)

Par dérivation, il en résulte une densité de probabilité

$$\left.\vphantom{\frac{f_{X}(x)}{\left\vert\partial v/\partial x\right\vert}}\right. {\frac{{f_{X}(x)}}{{\left\vert\partial v/\partial x\right\vert}}} \left.\vphantom{\frac{f_{X}(x)}{\left\vert\partial v/\partial x\right\vert}}\right\vert _{{x=\frac{\ln v}{\beta\sigma_{s}}}}^{} \left.\vphantom{\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\beta\sigma_{s}e^{\beta\sigma_{s}x}}}\right. {\frac{{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}}{{\beta\sigma_{s}e^{\beta\sigma_{s}x}}}} \left.\vphantom{\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{... ...ma_{s}e^{\beta\sigma_{s}x}}}\right\vert _{{x=\frac{\ln v}{\beta\sigma_{s}}}}^{}$$ f_V(v) = (10.17)

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\beta\sigma_{s}v}\fr... ...ma_{s}^{2}}} & \textrm{si} v\geq0\\ 0 & \textrm{si} v<0\end{array}}\right. \begin{array}{ll} \frac{1}{\beta\sigma_{s}v}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}... ...^{2}\sigma_{s}^{2}}} & \textrm{si} v\geq0\\ 0 & \textrm{si} v<0\end{array}$$ = (10.18)

Cette densité de probabilité est représentée à la figure 10.4.

Figure 10.4: Densité de probabilité d'une loi log-normale.

 

La valeur médiane de V , v_50% , est tirée de la valeur médiane de X par v_50% = e^x_50% = 10⁰ = 1 quelle que soit la valeur de $\sigma_{{s}}^{}$ .

En pratique, tous les termes ne contribuent pas de la même manière à l'affaiblissement. D'autre part, on peut montrer que les termes de diffraction n'obéissent pas à une simple loi additive, en raison d'une dépendance entre certains termes. Néanmoins, diverses mesures montrent que la loi log-normale est généralement suffisante pour modéliser le masquage.

10.2.4.2 Impact sur la zone de couverture en bordure d'une cellule

En présence d'un effet de masquage, l'affaiblissement L est une variable aléatoire normale N(L_50%, $\sigma_{{s}}^{{2}}$) (cf. équation 10.8):

$$\sigma_{{s}}^{{2}}$$ (10.19)

On peut en déduire une variable aléatoire normale centrée L_s au moyen de l'expression

L [dB] = L_50% [dB] + L_s [dB] (10.20)

où

• L_50% est la valeur médiane^10.5 de l'affaiblissement de parcours telle que fournie par les modèles empiriques résultant de mesures. En effet, ces mesures fournissent une valeur médiane qui, outre l'affaiblissement de parcours, englobe un effet moyen de masquage. C'est la raison pour laquelle on classe les modèles empiriques en fonction de la densité de l'environnement urbain.
• L_s , la variable aléatoire de masquage; c'est-à-dire une variable aléatoire gaussienne de moyenne nulle et d'écart-type $\sigma_{{s}}^{}$ .

La densité de probabilité de L_s est donc

$${\frac{{1}}{{\sigma_{s}\sqrt{2\pi}}}} {\frac{{-l_{s}^{2}}}{{2\sigma_{s}^{2}}}}$$ (10.21)

Pour des raisons d'efficacité, il est nécessaire de garantir un niveau de puissance supérieur à la valeur médiane; l'ingénieur de réseau n'a guère le choix que d'ajouter une marge supplémentaire de puissance à l'émission afin d'augmenter la couverture. À l'ajout de cette marge de m_s [dB] correspond une probabilité de couverture supérieure à celle de la puissance médiane pour une même sensibilité de récepteur. Cette probabilité se calcule par

$$\int_{{-\infty}}^{{m_{s}}} {\frac{{1}}{{\sigma_{s}\sqrt{2\pi}}}} {\frac{{-l_{s}^{2}}}{{2\sigma_{s}^{2}}}}$$ p(l_s < m_s) = (10.22)

$${\frac{{1}}{{2}}} \int_{{0}}^{{m_{s}}} {\frac{{1}}{{\sigma_{s}\sqrt{2\pi}}}} {\frac{{-l_{s}^{2}}}{{2\sigma_{s}^{2}}}}$$ = (10.23)

$${\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{1}}{{2}}} \left(\vphantom{\frac{m_{s}}{\sqrt{2}\sigma_{s}}}\right. {\frac{{m_{s}}}{{\sqrt{2}\sigma_{s}}}} \left.\vphantom{\frac{m_{s}}{\sqrt{2}\sigma_{s}}}\right)$$ = (10.24)

erf(x) est la fonction d'erreur

$${\frac{{2}}{{\sqrt{\pi}}}} \int_{{0}}^{{x}}$$ (10.25)

L'effet de masque représente une variation sur les conditions de propagation, tantôt favorable (par exemple visibilité directe), tantôt défavorable (par exemple lors de la présence d'un obstacle important entre l'émetteur et le récepteur). En environnement urbain, l'écart type de la loi a une valeur typique de 6 [dB] (d'après [19]).

La figure 10.5 montre la probabilité de couverture (en %) en fonction de la marge additionnelle de puissance.

Figure 10.5: Pourcentage de couverture tel que défini par un seuil de puissance.

 

Notes

... masquage^10.4

Cette définition, courante dans la littérature scientifique, peut prêter à confusion. En effet, en toute rigueur A représente l'inverse de l'affaiblissement. Par la suite, nous adopterons néanmoins la définition 10.4.

...médiane^10.5

La valeur médiane d'une variable aléatoire normale est théoriquement égale à sa moyenne. Pour les mesures, le recours à la médiane est préférable si l'on ne dispose pas d'un large ensemble de réalisations car elle élimine l'impact des valeurs aberrantes.