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10.2.5 Évanouissement

Pour obtenir la statistique qui décrit le phénomène d'évanouissement, il faut distinguer deux cas, suivant qu'il y ait ou non visibilité directe -ou du moins, un trajet nettement moins atténué que les autres- entre l'antenne de la station de base et l'antenne du mobile.

10.2.5.1 Évanouissement en l'absence d'un trajet direct

Considérons une série de trajets dus à la diffraction et à la réflexion (cf. figure 10.6). Dans un premier temps, nous considérons le cas d'un émetteur et d'un récepteur qui ne sont pas en ligne de vue.

Figure 10.6: Effet de multitrajet par diffraction et réflexion.
9367  

L'émetteur envoie un signal cosinusoïdal A cos(2$ \pi$fot) avec une amplitude et une fréquence fo constantes. Le signal reçu au droit du récepteur X(t) est composé d'une série d'ondes déphasées et atténuées

X(t) = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$Cicos(2$\displaystyle \pi$fot + $\displaystyle \theta_{{i}}^{}$) (10.26)

Cette expression peut s'écrire sous la forme de termes en phase et en quadrature

X(t) = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$[Aicos(2$\displaystyle \pi$fot) + Bicos(2$\displaystyle \pi$fot + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$)] (10.27)
  = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$[Aicos(2$\displaystyle \pi$fot) + Bisin(2$\displaystyle \pi$fot)] (10.28)
  = XI(t)cos(2$\displaystyle \pi$fot) - XQ(t)sin(2$\displaystyle \pi$fot) (10.29)

où l'on a défini

XI(t) = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$Ai = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$Cicos$\displaystyle \theta_{{i}}^{}$       et       XQ(t) = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$Bi = $\displaystyle \sum_{{i}}^{}$Cisin$\displaystyle \theta_{{i}}^{}$ (10.30)

Le canal n'étant pas invariant dans le temps (par exemple en raison de déplacements), les composantes en phase et en quadrature sont des fonctions temporelles. D'autre part, X(t) est la réalisation d'un processus stochastique qui est la somme de termes indépendants. Dès lors, en vertu du théorème de la limite centrale, XI(t) et XQ(t) représentent des variables aléatoires gaussiennes.

Si l'on veut déterminer l'intensité de champ électrique, il faut analyser l'évolution de l'amplitude du signal. Cette amplitude est définie par10.6

R(t) = $\displaystyle \sqrt{{X_{I}^{2}(t)+X_{Q}^{2}(t)}}$,   R(t) $\displaystyle \geq$ 0 (10.31)

quant à la phase, elle vaut

$\displaystyle \Phi$(t) = tan-1$\displaystyle {\frac{{X_{Q}(t)}}{{X_{I}(t)}}}$,   $\displaystyle \Phi$(t) $\displaystyle \in$ [0, 2$\displaystyle \pi$[ (10.32)

et donc

X(t) = R(t)cos(2$\displaystyle \pi$fot + $\displaystyle \Phi$(t)) (10.33)

Pour exprimer les densités de probabilité de ces variables aléatoires à partir de XI(t) et XQ(t) , supposons tout d'abord que les composantes en phase et en quadrature soient des variables gaussiennes centrées, de même variance $ \sigma_{{X}}^{{2}}$ et non corrélées. Les variables sont centrées car elles résultent de la somme de variables aléatoires de type Cicos$ \theta_{{i}}^{}$ . Or, en supposant que les variables Ci et cos$ \theta_{{i}}^{}$ soient indépendantes, E$ \left\{\vphantom{ C_{i}\cos\theta_{i}}\right.$Cicos$ \theta_{{i}}^{}$$ \left.\vphantom{ C_{i}\cos\theta_{i}}\right\}$ = E$ \left\{\vphantom{ C}\right.$C$ \left.\vphantom{ C}\right\}_{{i}}^{}$E$ \left\{\vphantom{ \cos\theta_{i}}\right.$cos$ \theta_{{i}}^{}$$ \left.\vphantom{ \cos\theta_{i}}\right\}$ = 0 si l'on considère un argument uniformément distribué sur l'intervalle [0, 2$ \pi$] . Physiquement, une moyenne correspond à des contributions d'amplitude négative, plus précisément à des termes en décalage de phase de 900 à 2700 .

10.2.5.1.1 Densité de probabilité.

S'agissant de gaussiennes, la non corrélation entraîne l'indépendance [7, page 162]. La densité de probabilité conjointe est dès lors égale à

fXI XQ($\displaystyle \alpha$,$\displaystyle \beta$) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$ (10.34)

Le changement de variables
xI = r cos$\displaystyle \phi$ (10.35)
xQ = r sin$\displaystyle \phi$ (10.36)

permet de trouver la densité de probabilité conjointe fR,$\scriptstyle \Phi$(r,$ \phi$) . En effet, on sait qu'en toute généralité, un changement de variables fait intervenir le Jacobien10.7

fR,$\scriptstyle \Phi$(r,$\displaystyle \phi$) = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc} \frac{\partial X_{I}}{\part... ...l X_{I}}{\partial\Phi} & \frac{\partial X_{Q}}{\partial\Phi}\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc} \frac{\partial X_{I}}{\partial R} & \frac{\part... ...{\partial X_{I}}{\partial\Phi} & \frac{\partial X_{Q}}{\partial\Phi}\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc} \frac{\partial X_{I}}{\partial ... ...{I}}{\partial\Phi} & \frac{\partial X_{Q}}{\partial\Phi}\end{array}}\right\vert$fXI XQ(r cos$\displaystyle \phi$, r sin$\displaystyle \phi$) (10.37)

Dès lors,
fR,$\scriptstyle \Phi$(r,$\displaystyle \phi$) = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc} \cos\phi & \sin\phi\\ -r\sin\phi & r\cos\phi\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc} \cos\phi & \sin\phi\\ -r\sin\phi & r\cos\phi\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc} \cos\phi & \sin\phi\\ -r\sin\phi & r\cos\phi\end{array}}\right\vert$fXI XQ(r cos$\displaystyle \phi$, r sin$\displaystyle \phi$) (10.38)
  = $\displaystyle {\frac{{r}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{r^{2}\cos^{2}\phi+r^{2}\sin^{2}\phi}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$ (10.39)
  = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \frac{r}{2\pi\sigma_{X}^{2}}e... ...2}}{2\sigma_{X}^{2}}}, & r\geq0, \phi\in[0,2\pi[\\ 0 & r<0\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll} \frac{r}{2\pi\sigma_{X}^{2}}e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma_{X}^{2}}}, & r\geq0, \phi\in[0,2\pi[\\ 0 & r<0\end{array}$ (10.40)

10.2.5.1.2 Densité de probabilité marginale de l'enveloppe.

La densité de probabilité marginale des amplitudes s'obtient en intégrant la densité conjointe sur $ \Phi$ . Un calcul simple conduit à

fR(r) = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \frac{r}{\sigma_{X}^{2}}e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma_{X}^{2}}}, & r\geq0 0 & r<0\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll} \frac{r}{\sigma_{X}^{2}}e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma_{X}^{2}}}, & r\geq0 0 & r<0\end{array}$ (10.41)

C'est la densité de probabilité de RAYLEIGH. Elle est illustrée, sous forme normalisée, à la figure 10.7.
Figure 10.7: Densité de probabilité de RAYLEIGH.
9518  

Les moments de cette loi valent [24]

E$\displaystyle \left\{\vphantom{ r}\right.$r$\displaystyle \left.\vphantom{ r}\right\}^{{n}}_{}$ = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1\times3\times\ldots\times n\... ...1 2^{k}k!\sigma_{X}^{2k} & \textrm{pour} n=2k\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll} 1\times3\times\ldots\times n\sigma_{X}^{n}\sqrt... ... n=2k+1 2^{k}k!\sigma_{X}^{2k} & \textrm{pour} n=2k\end{array}$ (10.42)

En particulier,
E$\displaystyle \left\{\vphantom{ r}\right.$r$\displaystyle \left.\vphantom{ r}\right\}$ = $\displaystyle \sqrt{{\pi/2}}$ $\displaystyle \sigma_{{X}}^{}$ $\displaystyle \simeq$ 1, 253 x $\displaystyle \sigma_{{X}}^{}$ (10.43)
$\displaystyle \sigma_{{R}}^{{2}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{2-\frac{\pi}{2}}\right.$2 - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2-\frac{\pi}{2}}\right)$$\displaystyle \sigma_{{X}}^{{2}}$ $\displaystyle \simeq$ 0, 429 x $\displaystyle \sigma_{{X}}^{{2}}$ (10.44)

Quant à l'amplitude quadratique moyenne mesurée, elle vaut

Rrms = $\displaystyle \left[\vphantom{\int_{0}^{+\infty}r^{2}\frac{r}{2\pi\sigma_{X}^{2}}e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma_{X}^{2}}}dr}\right.$$\displaystyle \int_{{0}}^{{+\infty}}$r2$\displaystyle {\frac{{r}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{r^{2}}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$dr$\displaystyle \left.\vphantom{\int_{0}^{+\infty}r^{2}\frac{r}{2\pi\sigma_{X}^{2}}e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma_{X}^{2}}}dr}\right]^{{1/2}}_{}$ = $\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \sigma_{{X}}^{}$ $\displaystyle \simeq$ 1, 41 x $\displaystyle \sigma_{{X}}^{}$ (10.45)

On parle généralement d'évanouissement lorsque l'amplitude du signal passe en dessous de Rrms  [21].

10.2.5.1.3 Densité de probabilité marginale de la phase.

Pour obtenir la densité marginale f$\scriptstyle \Phi$($ \phi$) , on intègre sur r de 0 à + $ \infty$ :

f$\scriptstyle \Phi$($\displaystyle \phi$) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2\pi}}}$,   $\displaystyle \phi$ $\displaystyle \in$ [0, 2$\displaystyle \pi$[ (10.46)

ce qui signifie que $ \Phi$ est une variable aléatoire uniforme et indépendante de R , d'où

fR,$\scriptstyle \Phi$(r,$\displaystyle \phi$) = fR(r)f$\scriptstyle \Phi$($\displaystyle \phi$) (10.47)

10.2.5.1.4 Données expérimentales.

La figure 10.8 montre l'histogramme de niveaux de puissance relevés expérimentalement en l'absence d'un trajet direct. Une approximation de la loi de RAYLEIGH est superposée à cet histogramme.

Figure 10.8: Histogramme de niveaux de puissance relevés expérimentalement (d'après LAPIERRE [20]).
\includegraphics{dessin/referenceRayleigh}

10.2.5.2 Évanouissement en présence d'un trajet direct

En présence d'un trajet direct, le signal reçu contient le signal transmis en ligne droite, en plus du bruit et des copies décalées et atténuées du signal utile

Z(t) = A cos(2$\displaystyle \pi$fot + $\displaystyle \theta$) + X(t) (10.48)

Ce cas est évidemment plus favorable que le cas précédent puisque le récepteur reçoit également le signal en ligne de vue. L'étude menée ci-après vise à mesurer l'importance de l'ajout du signal direct. Il ne faudrait pas pour autant en déduire des règles de dimensionnement car on doit tenir compte des conditions les plus défavorables pour l'établissement du bilan de puissance, c'est-à-dire en l'absence d'un trajet direct.

Pour un signal Z(t) à bande étroite, il est possible de recourir à la décomposition de RICE

Z(t) = ZI(t)cos(2$\displaystyle \pi$fot) - ZQ(t)sin(2$\displaystyle \pi$fot) (10.49)

où
ZI(t) = A cos$\displaystyle \theta$ + XI(t) (10.50)
ZQ(t) = A sin$\displaystyle \theta$ + XQ(t) (10.51)

En faisant apparaître l'amplitude et la phase,

Z(t) = R(t)cos(2$\displaystyle \pi$fot + $\displaystyle \Phi$(t)) (10.52)

où

R(t) = $\displaystyle \sqrt{{Z_{I}^{2}(t)+Z_{Q}^{2}(t)}}$,   R(t) $\displaystyle \geq$ 0 (10.53)

et

$\displaystyle \Phi$(t) = tan-1$\displaystyle {\frac{{Z_{Q}(t)}}{{Z_{I}(t)}}}$,   $\displaystyle \Phi$(t) $\displaystyle \in$ [0, 2$\displaystyle \pi$[ (10.54)

Dès lors,
ZI(t) = R(t)cos$\displaystyle \Phi$(t) (10.55)
ZQ(t) = R(t)sin$\displaystyle \Phi$(t) (10.56)

Pour une valeur donnée de $ \theta$ , les variables aléatoires gaussiennes XI(t) et XQ(t) étant indépendantes, elles conservent ce caractère. Il en résulte que
ZI(t) = N(A cos$\displaystyle \theta$,$\displaystyle \sigma_{{X}}^{{2}}$) (10.57)
ZQ(t) = N(A sin$\displaystyle \theta$,$\displaystyle \sigma_{{X}}^{{2}}$) (10.58)

La probabilité conjointe, conditionnellement à $ \theta$ , est donc

fZI ZQ($\displaystyle \alpha$,$\displaystyle \beta$|$\displaystyle \theta$ = $\displaystyle \theta_{{o}}^{}$) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{(\alpha-A\cos\theta_{o})^{2}+(\beta-A\sin\theta_{o})^{2}}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$ (10.59)

10.2.5.2.1 Densité de probabilité.

Le même changement de variable fournit le même Jacobien, d'où

fR,$\scriptstyle \Phi$(r,$\displaystyle \phi$|$\displaystyle \theta_{{o}}^{}$) = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc} \cos\phi & \sin\phi\\ -r\sin\phi & r\cos\phi\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc} \cos\phi & \sin\phi\\ -r\sin\phi & r\cos\phi\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc} \cos\phi & \sin\phi\\ -r\sin\phi & r\cos\phi\end{array}}\right\vert$fZI ZQ(r cos$\displaystyle \phi$, r sin$\displaystyle \phi$|$\displaystyle \theta_{{o}}^{}$) (10.60)
  = $\displaystyle {\frac{{r}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{(r\cos\phi-A\cos\theta_{o})^{2}+(r\sin\phi-A\sin\theta_{o})^{2}}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$ (10.61)
  = $\displaystyle {\frac{{r}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{r^{2}+A^{2}-2rA\cos(\theta_{o}-\phi)}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$ (10.62)

10.2.5.2.2 Densité de probabilité marginale de l'enveloppe.

L'intégration sur la phase donne

fR(r|$\displaystyle \theta_{{o}}^{}$) = $\displaystyle \int_{{0}}^{{2\pi}}$fR,$\scriptstyle \Phi$(r,$\displaystyle \phi$|$\displaystyle \theta_{{o}}^{}$)d$\displaystyle \phi$ (10.63)
  = $\displaystyle {\frac{{r}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{r^{2}+A^{2}}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$$\displaystyle \int_{{0}}^{{2\pi}}$e$\scriptstyle {\frac{{rA\cos(\theta_{o}-\phi)}}{{\sigma_{X}^{2}}}}$d$\displaystyle \phi$ (10.64)
  = $\displaystyle {\frac{{r}}{{2\pi\sigma_{X}^{2}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{r^{2}+A^{2}}}{{2\sigma_{X}^{2}}}}$2$\displaystyle \pi$I0$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{Ar}{\sigma_{X}^{2}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{Ar}}{{\sigma_{X}^{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{Ar}{\sigma_{X}^{2}}}\right)$ (10.65)

où I0(x) est la fonction de BESSEL modifiée d'ordre 0 telle que
I0(x) = $\displaystyle \sum_{{n=0}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{x^{2n}}}{{2^{2n}(n!)^{2}}}}$ (10.66)
  $\displaystyle \simeq$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}, & x<2,5\\ \frac{e^{1,1x}}{1,9x}, & 2,5<x<10\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll} 1+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}, & x<2,5\\ \frac{e^{1,1x}}{1,9x}, & 2,5<x<10\end{array}$ (10.67)

La fonction I0(x) est représentée à la figure 10.9.

Figure 10.9: Fonction de BESSEL modifiée de première espèce d'ordre 0.
\includegraphics[width=12cm]{dessin/i0}

Remarquons que cette densité de probabilité est indépendante de la phase initiale $ \theta_{{o}}^{}$ . On peut donc supprimer la condition en $ \theta_{{o}}^{}$ pour aboutir à

fR(r) = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} \frac{r}{\sigma_{X}^{2}}e^{-\... ...}\left(\frac{Ar}{\sigma_{X}^{2}}\right), & r\geq0 0 & r<0\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll} \frac{r}{\sigma_{X}^{2}}e^{-\frac{r^{2}+A^{2}}{... ...2}}}I_{0}\left(\frac{Ar}{\sigma_{X}^{2}}\right), & r\geq0 0 & r<0\end{array}$ (10.68)

Il s'agit de la densité de probabilité de RICE; elle est illustrée (sous forme normalisée) à la figure 10.10. Lorsque A = 0 , il s'agit de la loi de RAYLEIGH.

Figure 10.10: Densité de probabilité de RICE (pour différentes valeurs de a = $ {\frac{{A}}{{\sigma _{X}}}}$ ).
9748  


Notes

... par10.6
Les résultats suivants résultent de la décomposition en composantes de RICE et de la représentation par un passe-bas équivalent d'un signal passe-bande.
... Jacobien10.7
Voir par exemple PAPOULIS [24, page 143] pour une démonstration.
Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2007-10-27