10.2.7 Effet DOPPLER

Les multitrajets génèrent un effet d'évanouissement rapide. C'est en fait la somme de phases distribuées aléatoirement qui modifie l'amplitude instantanée du signal résultant. Il est un autre effet générateur de distorsion de phase: le mouvement du mobile. Prenons le cas illustré à la figure 10.11. Un mobile s'écarte d'une source stationnaire suivant un vecteur vitesse (instantané) $\overrightarrow{V}$ .

Figure 10.11: Effet DOPPLER.

 

Considérons que l'onde reçue par le mobile est une onde plane et que le mobile se déplace dans une direction orientée d'un angle $\theta$ . Le déplacement du mobile par rapport au front d'onde créée une distorsion de la fréquence apparente qui porte le nom d'effet DOPPLER. La distorsion est proportionnelle au déplacement dans l'axe perpendiculaire au front d'onde.

Prenons le cas d'une source qui émet un champ électrique sinusoïdal de fréquence f_c . En l'absence de mouvement, le champ reçu au droit du mobile vaut, suivant la théorie des ondes [25],

$$\omega_{{c}} \beta$$ (10.69)

avec $\omega_{{c}}^{}$ = 2$\pi$f_c et le nombre d'onde $\beta$ = ${\frac{{2\pi}}{{\lambda_{c}}}}$ . Si le mobile est animé d'un mouvement à vitesse $\overrightarrow{V}$ dans la direction $\theta$ . Le champ reçu devient

$$\omega_{{c}} \beta \beta$$ E(t) = (10.70)

$$\omega_{{c}} \beta \beta \theta$$ = (10.71)

$$\pi {\frac{{V}}{{\lambda_{c}}}} \theta \beta$$ = (10.72)

Le déplacement du mobile entraîne donc une distorsion de fréquence d'amplitude

$${\frac{{V}}{{\lambda_{c}}}} \theta \theta$$ (10.73)

appelée fréquence DOPPLER. Comme V et $\theta$ fluctuent au cours du temps, on assiste à une distorsion de fréquence variable -et donc de phase- pour l'analyse de laquelle il faudra également recourir à des outils statistiques. La modification de la fréquence porteuse dans une place de fréquences porte le nom d'étalement DOPPLER. La figure 10.12 montre les spectres à l'émission et à la réception résultant de l'effet DOPPLER.

Figure 10.12: Étalement DOPPLER.

Spectre à l'émission	Spectre à la réception

Exemple. Prenons le cas d'un mobile GSM ( 900 [MHz] ) se déplaçant à 120km/h . La fréquence DOPPLER maximale intervient lorsque le mobile se déplace dans l'axe de propagation de l'onde, c'est-à-dire pour cos$\theta$ = 1 . Dans ce cas, f_D = f_m = V${\frac{{f_{c}}}{{c}}}$ = ${\frac{{1,2\times10^{5}}}{{3600}}}$ x ${\frac{{9\times10^{8}}}{{3\times10^{8}}}}$ = 100 [Hz] . La fréquence instantanée est donc comprise dans un intervalle de largeur 200 [Hz] .

10.2.7.1 Spectre DOPPLER classique

L'allure de l'étalement DOPPLER a un impact significatif sur les statistiques d'évanouissement. Pour en déterminer l'expression, nous partons d'une hypothèse quant à la distribution des angles d'arrivée dans le plan horizontal des trajets multiples. Le modèle le plus simple consiste à considérer une variable aléatoire d'angle d'arrivée $\Theta$ dont la densité de probabilité f_$\Theta$($\theta$) est uniformément distribuée sur l'intervalle [0, 2$\pi$] .

La puissance moyenne récoltée dans un secteur angulaire d$\theta$ pour une antenne de gain G($\theta$) vaut

$$\theta \theta \Theta \theta \theta$$ (10.74)

En associant un secteur angulaire à une contribution spécifique de l'étalement DOPPLER, la puissance correspondante en termes de fréquence vaut

$$\gamma_{{D}}^{}$$ (10.75)

On remarquera aisément que deux secteurs angulaires d'orientation opposée contribuent à une même fréquence. Dès lors,

$$\gamma_{{D}}^{} \theta \Theta \theta \theta \theta \Theta \theta \theta$$ (10.76)

Ce qui mène à

$$\left\vert\vphantom{\gamma _{D}(f)}\right. \gamma_{{D}}^{} \left.\vphantom{\gamma _{D}(f)}\right\vert {\frac{{G(\theta)f_{\Theta}(\theta)+G(-\theta)f_{\Theta}(-\theta)}}{{\left\vert\frac{df}{d\theta}\right\vert}}}$$ (10.77)

Par la relation 10.73,

$$\left\vert\vphantom{\frac{df}{d\theta}}\right. {\frac{{df}}{{d\theta}}} \left.\vphantom{\frac{df}{d\theta}}\right\vert \left\vert\vphantom{-\sin\theta}\right. \theta \left.\vphantom{-\sin\theta}\right\vert$$ = (10.78)

$$\sqrt{{1-\cos^{2}\theta}}$$ = (10.79)

$$\sqrt{{1-\left(\frac{f}{f_{m}}\right)^{2}}}$$ = (10.80)

Finalement, en prenant une antenne de gain symétrique, le spectre vaut

$$\left\vert\vphantom{\gamma _{D}(f)}\right. \gamma_{{D}}^{} \left.\vphantom{\gamma _{D}(f)}\right\vert {\frac{{\frac{G(\theta)}{2\pi}+\frac{G(-\theta)}{2\pi}}}{{f_{m}\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_{m}}\right)^{2}}}}} {\frac{{G(\theta)}}{{\pi f_{m}\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_{m}}\right)^{2}}}}} \left\vert\vphantom{f}\right. \left.\vphantom{f}\right\vert \leq$$ (10.81)

et 0 pour $\left\vert\vphantom{f}\right.$f$\left.\vphantom{f}\right\vert$ > f_m . Cette forme de spectre porte le nom de spectre DOPPLER classique; elle est illustrée à la figure 10.13.

Figure: Spectre DOPPLER classique ( f_c = 900 [MHz] , V = 100 [km/h] et G = 1 ).

 

Bien que leur obtention soit mathématiquement complexe, il existe des expressions des densités spectrales de la phase du signal, de la fréquence instantanée, de l'enveloppe et d'autres quantités encore. En particulier, l'analyse de l'enveloppe montre que sa fonction d'autocorrélation se resserre lorsque la vitesse augmente, ce qui signifie que les enveloppes prises à deux temps voisins sont moins corrélées et donc que l'évanouissement marque des sauts plus brusques [1].