1.4.3 Estimateur simple de la densité spectrale de puissance: le périodigramme

Par calcul, on montre aisément que

$$\widehat{{\gamma }}_{{X}}^{} {\frac{{1}}{{N}}} \left\Vert\vphantom{ \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-2\pi jFn}}\right. \sum_{{n=0}}^{{N-1}} \pi \left.\vphantom{ \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-2\pi jFn}}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (1.73)

qui n'est rien d'autre que la transformée de FOURIER au carré de l'enregistrement, prolongé par des zéros.

Cet estimateur est appelé périodigramme. Il est malheureusement biaisé et

$$\left\{\vphantom{ \widehat{\gamma }_{X}(F)}\right. \widehat{{\gamma }}_{{X}}^{} \left.\vphantom{ \widehat{\gamma }_{X}(F)}\right\} \sum_{{k=-(N-1)}}^{{N-1}} \left[\vphantom{1-\frac{\left\vert k\right\vert}{N}}\right. {\frac{{\left\vert k\right\vert}}{{N}}} \left.\vphantom{1-\frac{\left\vert k\right\vert}{N}}\right] \widehat{{\Gamma }}_{{XX}}^{} \pi$$ (1.74)

Le périodigramme est un estimateur asymptotiquement sans biais de la densité spectrale de puissance: pour une durée d'observation N suffisamment grande, $\widehat{{\gamma }}_{{X}}^{}$(F) fluctue autour de la vraie valeur de $\gamma_{{X}}^{}$(F) . Par contre, l'amplitude des fluctuations, qui est donné par la variance de $\widehat{{\gamma }}_{{X}}^{}$(F) , ne tend pas vers 0 lorsque N tend vers l'infini. Plus précisément, on montre que cette variance est de l'ordre de grandeur de la valeur à estimer. La figure 1.9 montre quatre périodigrammes et une certaine densité spectrale théorique. On observe que, malgré l'allongement de la durée d'observation, l'amplitude des fluctuations ne diminue pas.

Figure 1.9: Fluctuations du périodigramme en fonction de la période totale d'observation N .

En pratique, on applique la transformée discrète. Dès lors,

$$\widehat{{\gamma }}_{{X}}^{} {\frac{{1}}{{N}}} \left\Vert\vphantom{ \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-2\pi jkn/N}}\right. \sum_{{n=0}}^{{N-1}} \pi \left.\vphantom{ \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-2\pi jkn/N}}\right\Vert^{{2}}_{}$$ (1.75)