2.1.1 Échantillonnage des signaux passe-bande

Prenons un signal passe-bande g(t) . On montre le théorème d'échantillonnage uniforme suivant pour les signaux passe-bande.

Théorème 10   Une fonction g(t) à énergie finie et à spectre limité, c'est-à-dire dont la transformée de FOURIER $\mathcal {G}$(f ) est de largeur W , et qui admet une borne supérieure f_u , est entièrement déterminée par ses échantillons g[nT_s] , n $\in$ { - $\infty$, + $\infty$} si la fréquence d'échantillonnage f_s vaut ${\frac{{2f_{u}}}{{k}}}$ , tel que k est le plus grand entier strictement inférieur à ${\frac{{f_{u}}}{{W}}}$ .
Il est à noter que toutes les fréquences d'échantillonnage ne conviennent pas sauf si elles sont strictement supérieures à 2f_u .

Démonstration

On sait que le spectre d'un signal échantillonné g_s(t) est périodique centré sur les multiples if_s :

$$\rightleftharpoons \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \mathcal {G}$$ (2.2)

Dans notre cas, le signal est de type passe-bande. L'échantillonnage pourrait amener un chevauchement des copies des spectres si l'on n'y prend garde. Prenons une fréquence d'échantillonnage f_s définie par ${\frac{{2f_{u}}}{{k}}}$ . Pour éviter tout repli de spectre, il faut impérativement que f_s > 2W . Dès lors, on obtient ${\frac{{2f_{u}}}{{k}}}$ > 2W , ce qui implique k < ${\frac{{f_{u}}}{{W}}}$ .

Exemple. Considérons un signal W = 20 [kHz] et f_u = 105 [kHz] . Par application du théorème, k < 5, 25 . Autrement dit, la fréquence d'échantillonnage f_s = 42 [kHz] convient. La figure 2.2 représente le signal échantillonné dans le domaine spectral. On est évidemment loin de la fréquence de NYQUIST qui aurait prévalu s'il ne s'agissait d'un signal passe-bande.

Figure 2.2: Signal passe-bande et signal après échantillonnage.

 

Plusieurs remarques s'imposent:

• S'il est vrai que le théorème garantit que soit préservée la bande de fréquence utile, il ne dit rien quant à la position des copies du spectre. On sait tout au plus que le spectre doit être symétrique puisque le signal échantillonné est réel. Il serait pourtant fort agréable de n'avoir que la partie située à droite ou à gauche de l'origine et de la centrer sur l'origine. On pourrait alors utiliser cette copie pour des opérations de type passe-bas, nettement plus faciles à réaliser. Précisons toutefois que la partie qui aboutirait près de l'origine n'est pas nécessairement symétrique; le filtrage de la composante à basse fréquence fournira donc un signal complexe.
• Le théorème ne fait nullement intervenir le concept de fréquence porteuse même si la majorité des signaux de type passe-bande sont le résultat d'une phase de modulation.