3.2.1 Bruit thermique

Du fait de l'agitation thermique des électrons, une résistance R portée à une température absolue T (c'est-à-dire exprimée en degré KELVIN [K] ) produit à ses bornes une force électromotrice E(t) qui est une fonction aléatoire. Cet effet, appelé effet JOHNSON, fut entre autres étudié par NYQUIST.

L'effort de modélisation consiste à

• décrire le phénomène aléatoire pour une résistance simple,
• analyser l'effet du bruit dans des configurations électriques complexes.

3.2.1.1 Formules de NYQUIST

Une résistance R portée à une température absolue T [K] possède le schéma équivalent de THÉVENIN de la figure 3.1, comprenant une résistance R dépourvue de bruit et une force électromotrice de bruit thermique E(t) qui est une fonction aléatoire, stationnaire, centrée, gaussienne et qui est en première approximation un bruit blanc de densité spectrale de puissance

$$\gamma_{{E}}^{}$$ (3.1)

où k_B = 1, 38 x 10^-23 [J/K] est la constante de BOLTZMANN.

Figure 3.1: Équivalents de THÉVENIN (a) et de NORTON (b) correspondant au bruit thermique dans une résistance.

 

L'équivalent de NORTON fournit quant à lui

$$\gamma_{{I}}^{}$$ (3.2)

3.2.1.2 Dépendance fréquentielle

L'étude plus détaillée du phénomène de bruit thermique fait apparaître une dépendance fréquentielle par le biais d'un facteur p(f )

$$\gamma_{{E}}^{}$$ (3.3)

où

$${\frac{{hf}}{{k_{B}T}}} {\frac{{1}}{{e^{hf/k_{B}T}-1}}}$$ (3.4)

est le facteur de PLANCK [35]. Dans la gamme de fréquences considérées, il est raisonnable de supposer que la densité spectrale de puissance est constante.

3.2.1.3 Généralisation à un dipôle d'impédance complexe

Considérons à présent le cas d'un dipôle d'impédance interne complexe Z_s . La densité spectrale de puissance prend alors la forme

$$\gamma_{{E}}^{} \left(\vphantom{Z_{s}(f)}\right. \left.\vphantom{Z_{s}(f)}\right)$$ (3.5)

Dès lors, la valeur quadratique moyenne de la force électromotrice de bruit thermique dans un intervalle [- f - df,  - f] $\cup$ [f, f + df] vaut

dE² = 4k_BTR_sdf (3.6)