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3.3.1 Puissance disponible

La puissance disponible aux bornes d'un dipôle est un élément essentiel de conception d'un circuit. En effet, on sait que le transfert maximum de puissance a lieu à l'adaptation conjuguée de l'impédance de source. C'est bien évidemment sous ce régime que l'on sera souvent amené à travailler.

3.3.1.1 Cas des signaux sinusoïdaux

Considérons le cas de signaux sinusoïdaux. La puissance de source fournie par le dipôle Psf vaut

Psf = $\displaystyle {\frac{{1}}{{T}}}$$\displaystyle \int_{{0}}^{{T}}$v(t)i(t)dt = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$Re$\displaystyle \left(\vphantom{\widehat{V}\widehat{I}^{\ast}}\right.$$\displaystyle \widehat{{V}}$$\displaystyle \widehat{{I}}^{{\ast}}_{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\widehat{V}\widehat{I}^{\ast}}\right)$ (3.8)

Dans une charge ZL

$\displaystyle \widehat{{V}}$ = $\displaystyle {\frac{{\widehat{E}Z_{L}}}{{Z_{s}+Z_{L}}}}$ (3.9)

et

$\displaystyle \widehat{{I}}$ = $\displaystyle {\frac{{\widehat{E}}}{{Z_{s}+Z_{L}}}}$ (3.10)

On a donc une puissance

Psf = $\displaystyle {\frac{{\widehat{E}^{2}Re\left(Z_{L}\right)}}{{2\left\Vert Z_{s}+Z_{L}\right\Vert ^{2}}}}$ (3.11)

On sait que la puissance fournie par le dipôle est maximale à l'adaptation conjuguée. Cette puissance, notée Psd , est appelée puissance disponible du dipôle; elle vaut

Psd = $\displaystyle {\frac{{\widehat{E}^{2}}}{{8Re\left(Z_{s}\right)}}}$ (3.12)

La puissance disponible dépend de la valeur de crête de la force électromotrice et de la partie réelle du dipôle. C'est donc un invariant pour la famille des impédances dont la partie résistive est identique.

3.3.1.2 Cas des processus stochastiques

Dans le cas de processus stochastiques, les relations restent valables à condition de les formuler entre densités spectrales de puissance. Examinons la question pour un bruit aléatoire quelconque

Pbf = $\displaystyle \lim_{{T\rightarrow+\infty}}^{}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{T}}}$$\displaystyle \int_{{0}}^{{T}}$V(t)I(t)dt (3.13)

et, après application du théorème de WIENER-KINTCHINE,

$\displaystyle \gamma_{{bd}}^{}$(f )= $\displaystyle {\frac{{\gamma _{E}(f)}}{{4Re\left(Z_{s}\right)}}}$ (3.14)

Remarquons que cette formulation est aussi bien valable pour les signaux utiles délivrés par la source que pour le bruit parasite introduit par cette même source. Au dénominateur, on retrouve un facteur 4 et non 8 comme dans l'expression 3.12. Cela s'explique simplement par le fait que la définition de la puissance disponible Psd s'appuie sur l'expression de la puissance fournie Psf , qui elle fait intervenir les valeurs de crête et donc un facteur $ {\frac{{1}}{{2}}}$ supplémentaire.


Exemple. Dans le cas particulier du bruit thermique

$\displaystyle \gamma_{{bd}}^{}$(f )= $\displaystyle {\frac{{\gamma _{E}(f)}}{{4Re\left(Z_{s}\right)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2k_{B}TRe\left(Z_{s}\right)}}{{4Re\left(Z_{s}\right)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{k_{B}T}}{{2}}}$ (3.15)

La densité spectrale de bruit disponible dépend donc de la température mais pas de la fréquence; c'est donc un bruit blanc de densité spectrale uniforme $ {\frac{{k_{B}T}}{{2}}}$ .

3.3.1.3 Résumé

Le tableau 3.1 reprend les principaux résultats énoncés dans cette section.


Tableau 3.1: Caractérisation des puissances d'un dipôle.
  Charge quelconque Adaptation conjuguée
Signaux sinusoïdaux Psf = $ {\frac{{1}}{{2}}}$Re$ \left(\vphantom{\widehat{V}\widehat{I}^{\ast}}\right.$$ \widehat{{V}}$$ \widehat{{I}}^{{\ast}}_{}$$ \left.\vphantom{\widehat{V}\widehat{I}^{\ast}}\right)$ = $ {\frac{{\widehat{E}^{2}Re\left(Z_{L}\right)}}{{2\left\Vert Z_{s}+Z_{L}\right\Vert ^{2}}}}$ Psd = $ {\frac{{\widehat{E}^{2}}}{{8Re\left(Z_{s}\right)}}}$
Signaux stochastiques Pbf = $ \lim_{{T\rightarrow+\infty}}^{}$$ {\frac{{1}}{{T}}}$$ \int_{{0}}^{{T}}$V(t)I(t)dt $ \gamma_{{bd}}^{}$(f )= $ {\frac{{\gamma _{E}(f)}}{{4Re\left(Z_{s}\right)}}}$
Bruit thermique   $ \gamma_{{bd}}^{}$(f )= $ {\frac{{k_{B}T}}{{2}}}$


Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2007-10-27