3.4.2 Facteur de bruit d'un quadripôle

3.4.2.1 Introduction

Pour décrire convenablement un quadripôle en sortie, il faut impérativement tenir compte de l'entrée. Ainsi, si l'entrée est un circuit ouvert ou si elle est court-circuitée, la sortie ne sera généralement pas la même.

Lors de la caractérisation du bruit du quadripôle, c'est le bruit interne, produit par le quadripôle, qui nous intéresse. Cette caractérisation nécessite néanmoins que l'on précise le type de circuit placé à l'entrée. Alors, plutôt que de considérer un circuit ouvert ou un court-circuit, on préfère prendre une source de référence proche de la réalité, à savoir une source de bruit thermique de température ambiante de référence. Ce choix conduit à la définition du facteur de bruit. Nous verrons ensuite comment traiter une source différente de la source de référence.

Définition 20   [Facteur de bruit] L'impédance interne du quadripôle générateur étant donnée, le facteur de bruit du quadripôle à la fréquence d'entrée f , noté F₀(f ) , est le rapport de (1) la densité spectrale de bruit disponible à la sortie du quadripôle, à la fréquence correspondante, lorsque la température de bruit du dipôle générateur est T₀ = 290 [K] à (2) la partie de cette densité spectrale due au bruit du dipôle générateur à la fréquence f .

Dans cette définition, on peut remplacer le terme ``disponible'' par ``fournie par''.

En raison de l'indépendance statistique des bruits, la densité spectrale de bruit disponible, à une certaine fréquence, à la sortie du quadripôle est la somme de la densité spectrale de bruit disponible du générateur multipliée par le gain, à cette même fréquence, et des densités spectrales de bruit propres au quadripôle. Considérons pour l'étude analytique le dessin de la figure 3.4.

Figure 3.4: Schéma d'un quadripôle bruité.

 

Si l'on considère un dipôle générateur porté à la température T₀ en entrée, on peut écrire la densité spectrale disponible à la sortie sous la forme

$$\gamma_{{bd2}}^{} \gamma_{{bd1}}^{} \left\vert\vphantom{_{T=T_{0}}}\right. \gamma_{{bdq}}^{} {\frac{{1}}{{2}}} \gamma_{{bdq}}^{}$$ (3.19)

Dès lors,

$${\frac{{\gamma _{bd2}(f)}}{{\gamma _{bd1}(f)\left\vert _{T=T_{0}}\right.G(f)}}} {\frac{{\gamma _{bdq}(f)}}{{\frac{1}{2}k_{B}T_{0}G(f)}}}$$ (3.20)

Le facteur de bruit est évidemment supérieur ou égal à l'unité. Il fait l'objet de mesure et caractérise le quadripôle.

3.4.2.2 Interprétation de la notion de facteur de bruit

Soient $\gamma_{{\mbox{in}}}^{}$(f ) et $\gamma_{{\mbox{out}}}^{}$(f ) les densités spectrales du signal utile respectivement à l'entrée et à la sortie du quadripôle. Le rapport du signal à bruit à l'entrée vaut donc

$$\left(\vphantom{\frac{S}{N}}\right. {\frac{{S}}{{N}}} \left.\vphantom{\frac{S}{N}}\right)_{{\mbox{in}}}^{} {\frac{{\gamma _{\mbox{in}}(f)}}{{\gamma _{bd1}(f)}}}$$ (3.21)

Pareillement, à la sortie du quadripôle,

$$\left(\vphantom{\frac{S}{N}}\right. {\frac{{S}}{{N}}} \left.\vphantom{\frac{S}{N}}\right)_{{\mbox{out}}}^{} {\frac{{\gamma _{\mbox{out}}(f)}}{{\gamma _{bd2}(f)}}}$$ (3.22)

Dès lors,

$${\frac{{\left(\frac{S}{N}\right)_{\mbox{in}}}}{{\left(\frac{S}{N}\right)_{\mbox{out}}}}} {\frac{{\gamma _{\mbox{in}}(f)}}{{\gamma _{bd1}(f)}}} {\frac{{\gamma _{bd2}(f)}}{{\gamma _{\mbox{out}}(f)}}}$$ (3.23)

Mais, comme le signal est amplifié par un gain G(f ) , c'est-à-dire que $\gamma_{{\mbox{out}}}^{}$(f )= G(f )$\gamma_{{\mbox{in}}}^{}$(f ) , ce rapport devient

$${\frac{{\left(\frac{S}{N}\right)_{\mbox{in}}}}{{\left(\frac{S}{N}\right)_{\mbox{out}}}}} {\frac{{\gamma _{bd2}(f)}}{{\gamma _{bd1}(f)G(f)}}}$$ (3.24)

En d'autres termes, le facteur de bruit n'est jamais que le quotient du rapport signal à bruit en entrée par le rapport signal à bruit en sortie. Il représente donc la dégradation du rapport signal à bruit, après passage dans un quadripôle.

3.4.2.3 Circuits équivalents

À partir du facteur de bruit, on peut aussi calculer la puissance de bruit disponible en sortie

$$\gamma_{{bd2}}^{} \gamma_{{bd1}}^{} \left\vert\vphantom{_{T=T_{0}}}\right.$$ (3.25)

Cette formulation permet d'exprimer le bruit injecté par le quadripôle par un bruit équivalent qui serait placé à l'entrée. Le dessin de la figure 3.5 montre les deux circuits équivalents.

Figure 3.5: Un quadripôle bruité et son schéma équivalent.

 

3.4.2.4 Facteur de bruit moyen

Le facteur de bruit traduit la dégradation du rapport signal à bruit en sortie du quadripôle. Comme il dépend de la fréquence, on lui préfère parfois le facteur de bruit moyen.

Définition 21   Le facteur de bruit moyen est le rapport de (1) la puissance de bruit disponible à la sortie du quadripôle à (2) la partie de cette puissance due au dipôle générateur supposé à la température de bruit T₀ = 290 [K] .

Par définition du facteur de bruit ponctuel, la puissance de bruit disponible à la sortie du quadripôle possède une densité spectrale

$$\gamma_{{bd2}}^{} {\frac{{1}}{{2}}}$$ (3.26)

on a alors l'expression du facteur de bruit moyen

$${\frac{{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2}k_{B}T_{0}G(f)F_{0}(f)df}}{{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2}k_{B}T_{0}G(f)df}}} {\frac{{\int_{-\infty}^{+\infty}G(f)F_{0}(f)df}}{{\int_{-\infty}^{+\infty}G(f)df}}}$$ (3.27)

3.4.2.5 Facteur de mérite

Il s'agit d'une grandeur qui n'est pas normalisée, contrairement au facteur de bruit.

Si la température de bruit du dipôle était T_s $\neq$ T₀ , on pourrait définir un facteur de bruit F(f ) , en reprenant point par point le raisonnement précédent. En égalant la densité spectrale de bruit propre au quadripôle

$$\gamma_{{bdq}}^{} {\frac{{1}}{{2}}}$$ = (3.28)

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ = (3.29)

Comme le gain n'est a priori pas fonction de la température, pour toute fréquence f ,

(F - 1)T_s = (F₀ -1)T₀ (3.30)

d'où

$${\frac{{T_{0}}}{{T_{s}}}}$$ (3.31)

et une relation identique entre F_0m et F_m . F , appelé facteur de mérite, exprime la dégradation du rapport signal à bruit lorsque la température du dipôle générateur est T_s .