4.3.2 Calcul de la densité spectrale de puissance

Le calcul de la densité spectrale de puissance d'un processus stochastique n'a véritablement de sens que si ce processus est stationnaire au sens large. Pour rappel un processus aléatoire X(t) est stationnaire au sens large si les deux conditions suivantes sont remplies

• sa moyenne $\mu_{{X}}^{}$ est indépendante du temps t ,
• sa fonction d'autocorrélation $\Gamma_{{XX}}^{}$$\left(\vphantom{t, t-\tau}\right.$t, t - $\tau$$\left.\vphantom{t, t-\tau}\right)$ = E$\left\{\vphantom{ X(t){X}^{\ast}(t-\tau)}\right.$X(t)X ^* (t - $\tau$)$\left.\vphantom{ X(t){X}^{\ast}(t-\tau)}\right\}$ ne dépend que de la différence de temps $\tau$ entre les instants d'observation. La fonction d'autocorrélation est alors notée $\Gamma_{{XX}}^{}$$\left(\vphantom{\tau}\right.$$\tau$$\left.\vphantom{\tau}\right)$ .

La densité spectrale de puissance d'un processus stochastique stationnaire au sens large s'obtient en calculant la transformée de FOURIER de sa fonction d'autocorrélation.

4.3.2.1 Densité spectrale du puissance du signal modulé

Le signal numérique modulé est un processus stochastique S(t) que l'on peut écrire, en prenant arbitrairement $\varphi_{{c}}^{}$ = 0 , sous la forme

$$\left(\vphantom{M(t) e^{j2\pi f_{c}t}}\right. \pi \left.\vphantom{M(t) e^{j2\pi f_{c}t}}\right)$$ (4.13)

où M(t) est un processus stochastique complexe. Remarquons tout d'abord que le processus stochastique S(t) n'est pas stationnaire au sens large vu car sa moyenne dépend du temps. Il est donc nécessaire de stationnariser le signal. Pour cela, nous ajoutons une phase aléatoire $\Theta$ uniformément répartie sur $\left[\vphantom{0,2\pi}\right.$0, 2$\pi$$\left.\vphantom{0,2\pi}\right[$

$$\left(\vphantom{M(t) e^{j\left(2\pi f_{c}t+\Theta\right)}}\right. \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right. \pi \Theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right) \left.\vphantom{M(t) e^{j\left(2\pi f_{c}t+\Theta\right)}}\right)$$ (4.14)

Comme le processus stochastique M(t) et la variable aléatoire $\Theta$ sont non-corrélés, il est aisé de montrer que la moyenne du processus stochastique S(t) est nulle et donc indépendante du temps.

4.3.2.1.1 Fonction d'autocorrélation.

Déterminons la fonction d'autocorrélation du signal modulé

$$\Gamma_{{SS}}^{} \left(\vphantom{t,t-\tau}\right. \tau \left.\vphantom{t,t-\tau}\right) \left\{\vphantom{ S(t) {S}^{\ast}(t-\tau)}\right. \tau \left.\vphantom{ S(t) {S}^{\ast}(t-\tau)}\right\}$$ = (4.15)

$$\left\{\vphantom{ S(t) S(t-\tau)}\right. \tau \left.\vphantom{ S(t) S(t-\tau)}\right\}$$ = (4.16)

où nous avons utilisé le fait que le signal modulé est réel. Comme

$${\frac{{1}}{{2}}} \left[\vphantom{M(t) e^{j\left(2\... ...}t+\Theta\right)}+{M}^{\ast}(t) e^{-j\left(2\pi f_{c}t+\Theta\right)}}\right. \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right. \pi \Theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right) \left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right. \pi \Theta \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\Theta}\right) \left.\vphantom{M(t) e^{j\left(2\... ...}t+\Theta\right)}+{M}^{\ast}(t) e^{-j\left(2\pi f_{c}t+\Theta\right)}}\right]$$ (4.17)

et, en remplaçant S(t) par sa valeur, le calcul des espérances fournit^4.1

$$\Gamma_{{SS}}^{} \left(\vphantom{t, t-\tau}\right. \tau \left.\vphantom{t, t-\tau}\right) {\frac{{1}}{{4}}} \left\{\vphantom{ M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}+{M}^{\ast}(t) M(t-\tau) e^{-j2\pi f_{c}\tau}}\right. \tau \pi \tau \tau \pi \tau \left.\vphantom{ M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}+{M}^{\ast}(t) M(t-\tau) e^{-j2\pi f_{c}\tau}}\right\}$$ = (4.18)

$${\frac{{1}}{{4}}} \left\{\vphantom{ 2 Re\left(M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}\right)}\right. \left(\vphantom{M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}}\right. \tau \pi \tau \left.\vphantom{M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}}\right) \left.\vphantom{ 2 Re\left(M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}\right)}\right\}$$ = (4.19)

$${\frac{{1}}{{2}}} \left(\vphantom{E\left\{ M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}\right\} }\right. \left\{\vphantom{ M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}}\right. \tau \pi \tau \left.\vphantom{ M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}}\right\} \left.\vphantom{E\left\{ M(t) {M}^{\ast}(t-\tau) e^{j2\pi f_{c}\tau}\right\} }\right)$$ = (4.20)

$${\frac{{1}}{{2}}} \left(\vphantom{\Gamma _{MM}\left(t, t-\tau\right) e^{j2\pi f_{c}\tau}}\right. \Gamma_{{MM}}^{} \left(\vphantom{t, t-\tau}\right. \tau \left.\vphantom{t, t-\tau}\right) \pi \tau \left.\vphantom{\Gamma _{MM}\left(t, t-\tau\right) e^{j2\pi f_{c}\tau}}\right)$$ = (4.21)

4.3.2.1.2 Densité spectrale de puissance.

Dès lors, il vient que, si l'enveloppe complexe M(t) est un processus stochastique stationnaire au sens large, le signal modulé S(t) est également stationnaire au sens large. Il est alors possible de calculer sa densité spectrale de puissance en prenant la transformée de FOURIER de sa fonction d'autocorrélation. Étant donné que

$$\Gamma_{{SS}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) {\frac{{1}}{{4}}} \left[\vphantom{\Gamma _{MM}\left(\tau\right) e^{j2\pi f_{c}\tau}+{\Gamma _{MM}\left(\tau\right)}^{\ast} e^{-j2\pi f_{c}\tau}}\right. \Gamma_{{MM}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) \pi \tau \Gamma_{{MM}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right)^{{{\ast}}}_{{}} \pi \tau \left.\vphantom{\Gamma _{MM}\left(\tau\right) e^{j2\pi f_{c}\tau}+{\Gamma _{MM}\left(\tau\right)}^{\ast} e^{-j2\pi f_{c}\tau}}\right]$$ (4.22)

il vient finalement

$$\gamma_{{S}}^{} {\frac{{\gamma _{M}\left(f-f_{c}\right)+\gamma _{M}^{\ast}\left(-f-f_{c}\right)}}{{4}}}$$ (4.23)

où $\gamma_{{M}}^{}$(f ) est la densité spectrale de puissance de l'enveloppe complexe M(t) .

4.3.2.2 Densité spectrale de l'enveloppe complexe

L'enveloppe complexe du signal modulé est un processus stochastique complexe exprimé par

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ (4.24)

La séquence de variables aléatoires D_k est caractérisée par

• sa moyenne: $\mu_{{D}}^{}$ = E$\left\{\vphantom{ D_{k}}\right.$D_k$\left.\vphantom{ D_{k}}\right\}$
• sa variance: $\sigma_{{D}}^{{2}}$ = E$\left\{\vphantom{ \left(D_{k}-\mu_{D}\right){\left(D_{k}-\mu_{D}\right)}^{\ast}}\right.$$\left(\vphantom{D_{k}-\mu_{D}}\right.$D_k - $\mu_{{D}}^{}$$\left.\vphantom{D_{k}-\mu_{D}}\right)$$\left(\vphantom{D_{k}-\mu_{D}}\right.$D_k - $\mu_{{D}}^{}$$\left.\vphantom{D_{k}-\mu_{D}}\right)^{{{\ast}}}_{{}}$$\left.\vphantom{ \left(D_{k}-\mu_{D}\right){\left(D_{k}-\mu_{D}\right)}^{\ast}}\right\}$
• sa fonction d'autocorrélation: $\Gamma_{{AA}}^{}$$\left(\vphantom{k,k-l}\right.$k, k - l$\left.\vphantom{k,k-l}\right)$ = E$\left\{\vphantom{ D_{k}{D_{k-l}}^{\ast}}\right.$D_kD_k-l ^* $\left.\vphantom{ D_{k}{D_{k-l}}^{\ast}}\right\}$
• sa fonction d'autocovariance: C_AA(k, k - l )= E$\left\{\vphantom{ \left(D_{k}-\mu_{D}\right){\left(D_{k-l}-\mu_{D}\right)}^{\ast}}\right.$$\left(\vphantom{D_{k}-\mu_{D}}\right.$D_k - $\mu_{{D}}^{}$$\left.\vphantom{D_{k}-\mu_{D}}\right)$$\left(\vphantom{D_{k-l}-\mu_{D}}\right.$D_k-l - $\mu_{{D}}^{}$$\left.\vphantom{D_{k-l}-\mu_{D}}\right)^{{{\ast}}}_{{}}$$\left.\vphantom{ \left(D_{k}-\mu_{D}\right){\left(D_{k-l}-\mu_{D}\right)}^{\ast}}\right\}$

Après stationnarisation de la séquence de variables aléatoires D_k , on montre (voir cours de ``Principes des télécommunications analogiques et numériques'') que la densité spectrale de puissance de M(t) est donnée par

$$\gamma_{{M}}^{} \left\Vert\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right. \mathcal {G} \left.\vphantom{ \mathcal{G}(f)}\right\Vert^{{2}}_{} {\frac{{\gamma _{D}\left(fT\right)}}{{T}}}$$ (4.25)

où

$$\gamma_{{D}}^{} \left(\vphantom{fT}\right. \left.\vphantom{fT}\right) \sum_{{l=-\infty}}^{{+\infty}} \Gamma_{{DD}}^{} \left(\vphantom{l}\right. \left.\vphantom{l}\right) \pi$$ (4.26)

Si on ajoute l'hypothèse de variables aléatoires D_k non-corrélées^4.2 ( C_DD(k, k - l )= 0 ), on montre que

$$\gamma_{{M}}^{} {\frac{{\left\Vert \mathcal{G}(f)\right\Vert ^{2}}}{{T}}} \left[\vphantom{\sigma_{D}^{2}+\left\Vert \mu_{D}\right\Vert ^{2}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}\delta\left(f-\frac{m}{T}\right)}\right. \sigma_{{D}}^{{2}} \left\Vert\vphantom{ \mu_{D}}\right. \mu_{{D}}^{} \left.\vphantom{ \mu_{D}}\right\Vert^{{2}}_{} \sum_{{m=-\infty}}^{{+\infty}} {\frac{{1}}{{T}}} \delta \left(\vphantom{f-\frac{m}{T}}\right. {\frac{{m}}{{T}}} \left.\vphantom{f-\frac{m}{T}}\right) \left.\vphantom{\sigma_{D}^{2}+\left\Vert \mu_{D}\right\Vert ^{2}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}\delta\left(f-\frac{m}{T}\right)}\right]$$ (4.27)

La densité spectrale de puissance de l'enveloppe complexe M(t) est donc réelle et symétrique.

4.3.2.3 La densité spectrale en conclusion

En conséquence des relations 4.23 et 4.27, la densité spectrale de puissance du signal modulé est fournie par

$$\gamma_{{S}}^{} {\frac{{\gamma _{M}\left(f-f_{c}\right)+\gamma _{M}\left(f+f_{c}\right)}}{{4}}}$$ (4.28)

La seule connaissance de l'enveloppe complexe et de la fréquence porteuse permet donc de déterminer la densité spectrale d'un signal numérique classique.

Notes

... fournit^4.1

En fait, l'espérance des deux termes faisant intervenir la variable aléatoire $\Theta$ est nulle.

... non-corrélées^4.2

La non-corrélation des symboles successifs garantit un transfert d'information maximum. Mais en contrepartie de l'absence de redondance, l'information est très sensible à des effets de bruit.