4.3.3 Modulation d'amplitude numérique (Amplitude Shift Keying)

4.3.3.1 Description

La modulation d'amplitude numérique (ASK) est une version simple des modulations numériques linéaires classiques. Elle est caractérisée par une variable aléatoire D_k purement réelle (B_k = 0 ). L'enveloppe complexe d'un signal modulé ASK, qui vaut

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ (4.29)

est donc purement réelle.

Il est courant de choisir comme signal de mise en forme une impulsion rectangulaire de durée T

$$\left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right)$$ (4.30)

Pour arriver à interpréter le signal modulé, on détermine l'enveloppe a(t) et la phase $\varphi$(t) du signal modulé. Ces deux signaux s'obtiennent aisément à partir de l'enveloppe complexe par la relation

$$\varphi$$ (4.31)

Étant donné que la variable aléatoire A_k peut s'écrire A_k = $\left\Vert\vphantom{ A_{k}}\right.$A_k$\left.\vphantom{ A_{k}}\right\Vert$e^{$\left(\vphantom{1-sgn\left(A_{k}\right)}\right.$1 - sgn$\left(\vphantom{A_{k}}\right.$A_k$\left.\vphantom{A_{k}}\right)$$\left.\vphantom{1-sgn\left(A_{k}\right)}\right)$${\frac{{\pi}}{{2}}}$j} , nous pouvons déduire

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \left\Vert\vphantom{ A_{k}}\right. \left.\vphantom{ A_{k}}\right\Vert \left(\vphantom{t-kT}\right. \left.\vphantom{t-kT}\right)$$ a(t) = (4.32)

$$\varphi \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} {\frac{{\pi}}{{2}}} \left(\vphantom{1-sgn\left(A_{k}\right)}\right. \left(\vphantom{A_{k}}\right. \left.\vphantom{A_{k}}\right) \left.\vphantom{1-sgn\left(A_{k}\right)}\right) \left(\vphantom{t-kT}\right. \left.\vphantom{t-kT}\right)$$ = (4.33)

Il apparaît que l'enveloppe du signal varie par paliers, ce qui est un inconvénient si le signal passe au travers d'un canal affectant l'amplitude ou d'un système non-linéaire, comme par exemple un amplificateur travaillant à saturation. Quant à la phase, elle marque des discontinuités par sauts de $\pi$ . Ces sauts de phase sont également critiques car il nécessite des filtres de réception à large bande passante sous peine de détériorer le signal modulé.

4.3.3.2 Cas particulier: modulation d'amplitude numérique à deux états (ASK-2)

Dans le cas de la modulation ASK-2, la variable aléatoire A_k peut prendre deux valeurs: + A ou - A . Pour cette modulation, on voit que l'enveloppe du signal est constante. Par contre, la phase subit toujours des sauts de $\pi$ radians toutes les T secondes.

Il est courant de représenter une modulation par un diagramme de constellations ou diagramme des états de phase, qui n'est rien d'autre que le plan complexe de la variable aléatoire complexe D_k , dans lequel on représente toutes les valeurs que peut prendre D_k . On attribue le signal g(t)cos$\left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi_{c}}\right.$2$\pi$f_ct + $\varphi_{{c}}^{}$$\left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi_{c}}\right)$ , correspondant à A_k , à l'axe réel pour faire référence à la composante en phase et - g(t)sin$\left(\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi_{c}}\right.$2$\pi$f_ct + $\varphi_{{c}}^{}$$\left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi_{c}}\right)$ , correspondant à B_k , à l'axe imaginaire pour faire référence à la composante en quadrature.

La présence de g(t) signifie que le diagramme de constellations est indépendant du signal de mise en forme. La figure 4.1 montre le diagramme de constellations pour la modulation ASK-2.

Figure 4.1: Diagramme des états de phase de la modulation ASK-2 ou BPSK.

 

4.3.3.3 Densité spectrale de puissance de l'ASK-2

Déterminons à présent la densité spectrale de puissance du signal modulé ASK-2. Commençons par déterminer la densité spectrale de puissance de l'enveloppe complexe. Nous ferons l'hypothèse que les deux amplitudes $\pm$A sont équiprobables. La moyenne $\mu_{{A}}^{}$ de la variable aléatoire A_k est donc nulle. Sa variance est donnée par $\sigma_{{A}}^{{2}}$ = E$\left\{\vphantom{ A_{k}^{2}}\right.$A_k²$\left.\vphantom{ A_{k}^{2}}\right\}$ = A² . Le signal de mise en forme étant la fonction rect_{[0, T]}$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$ , sa transformée de FOURIER vaut

$$\mathcal {G} \pi {\frac{{T}}{{2}}}$$ (4.34)

Il en résulte une densité spectrale de puissance pour l'enveloppe complexe donnée par

$$\gamma_{{e_{s}}}^{} \left(\vphantom{fT}\right. \left.\vphantom{fT}\right)$$ (4.35)

et finalement une densité spectrale de puissance du signal modulé valant

$$\gamma_{{s}}^{} {\frac{{A^{2}T}}{{4}}} \left\{\vphantom{ sinc^{2}\left[\left(f-f_{c}\right)T\right]+sinc^{2}\left[\left(f+f_{c}\right)T\right]}\right. \left[\vphantom{\left(f-f_{c}\right)T}\right. \left(\vphantom{f-f_{c}}\right. \left.\vphantom{f-f_{c}}\right) \left.\vphantom{\left(f-f_{c}\right)T}\right] \left[\vphantom{\left(f+f_{c}\right)T}\right. \left(\vphantom{f+f_{c}}\right. \left.\vphantom{f+f_{c}}\right) \left.\vphantom{\left(f+f_{c}\right)T}\right] \left.\vphantom{ sinc^{2}\left[\left(f-f_{c}\right)T\right]+sinc^{2}\left[\left(f+f_{c}\right)T\right]}\right\}$$ (4.36)

Comme la variable aléatoire A_k ne peut prendre que deux valeurs dans le cas de la modulation ASK-2, le signal modulé ne transmet qu'un seul bit d'information pendant la durée T . Il vient donc que la densité spectrale de puissance d'un signal ASK-2 est donnée par la relation 4.36 pour T = T_b où R_b = 1/T_b est le débit binaire, encore appelé fréquence bit, exprimé en [b/s] .