4.3.5 Modulation en quadrature de phase (Quadrature Phase Shift Keying)

4.3.5.1 Description

La modulation en quadrature de phase (QPSK) correspond à une modulation PSK-4, c'est donc une modulation à 4 états (M = 4 ). La phase $\psi_{{k}}^{}$ peut prendre les valeurs $\left\{\vphantom{ -3\pi/4,-\pi/4,+\pi/4,+3\pi/4}\right.$ -3$\pi$/4, - $\pi$/4, + $\pi$/4, +3$\pi$/4$\left.\vphantom{ -3\pi/4,-\pi/4,+\pi/4,+3\pi/4}\right\}$ . Autrement dit, la variable aléatoire D_k prend une des valeurs suivantes^4.3

$$\in \left\{\vphantom{ Ae^{-j\frac{3\pi}{4}}, Ae^{-j\frac{\pi}{4}}, Ae^{j\frac{\pi}{4}}, Ae^{j\frac{3\pi}{4}}}\right. {\frac{{3\pi}}{{4}}} {\frac{{\pi}}{{4}}} {\frac{{\pi}}{{4}}} {\frac{{3\pi}}{{4}}} \left.\vphantom{ Ae^{-j\frac{3\pi}{4}}, Ae^{-j\frac{\pi}{4}}, Ae^{j\frac{\pi}{4}}, Ae^{j\frac{3\pi}{4}}}\right\}$$ (4.48)

Le diagramme de constellations est représenté à la figure 4.2.

Figure 4.2: Diagramme de constellations pour la modulation QPSK.

 

Considérons une source binaire fournissant le train d'impulsions suivant

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \delta$$ (4.49)

où I_k = + 1 correspond à l'information binaire 1 et I_k = - 1 correspond à l'information binaire 0. Le débit binaire est égal à R_b = 1/T_b . À partir de la séquence I(t) , nous formons les deux séquences

$${\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}} \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ s_I(t) = (4.50)

$${\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}} \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ s_Q(t) = (4.51)

où T = 2T_b , g(t) est une impulsion de mise en forme de durée T , A_k = I_2k${\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$ et B_k = I_2k+1${\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}}$ . Ces deux séquences correspondent respectivement aux bits pairs et impairs de la séquence de départ et constituent les composantes en phase s_I(t) et en quadrature s_Q(t) du signal modulé QPSK. La figure 4.3 illustre la formation de ces séquences pour un signal de mise en forme égal à

$$\left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right) \left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right)$$ (4.52)

qui correspond à la modulation QPSK classique.

Figure 4.3: Formation des composantes en phase et en quadrature pour la modulation QPSK (avec mise en forme par un signal rectangulaire).

 

Nous allons à présent déterminer l'enveloppe et la phase instantanée pour une impulsion de mise en forme rectangulaire. L'enveloppe complexe est donnée par

e_s(t) = s_I(t) + j s_Q(t) (4.53)

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{A_{k}+j B_{k}}\right. \left.\vphantom{A_{k}+j B_{k}}\right) \left(\vphantom{t-kT}\right. \left.\vphantom{t-kT}\right)$$ = (4.54)

$${\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}} \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{I_{2k}+j I_{2k+1}}\right. \left.\vphantom{I_{2k}+j I_{2k+1}}\right) \left(\vphantom{t-kT}\right. \left.\vphantom{t-kT}\right)$$ = (4.55)

Il vient alors

$$\sqrt{{s_{I}^{2}(t)+s_{Q}^{2}(t)}}$$ a(t) = (4.56)

$${\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}} \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \sqrt{{I_{2k}^{2}+I_{2k+1}^{2}}} \left(\vphantom{t-kT}\right. \left.\vphantom{t-kT}\right)$$ = (4.57)

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{t-kT}\right. \left.\vphantom{t-kT}\right)$$ = (4.58)

et

$$\varphi \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{t-kT}\right. \left.\vphantom{t-kT}\right) \left(\vphantom{\frac{I_{2k+1}}{I_{2k}}}\right. {\frac{{I_{2k+1}}}{{I_{2k}}}} \left.\vphantom{\frac{I_{2k+1}}{I_{2k}}}\right)$$ (4.59)

Nous voyons donc que l'enveloppe du signal modulé est constante et égale à A . Le rapport I_2k+1/I_2k peut prendre les valeurs $\pm$1 , ce qui correspondrait à 2 états seulement. Cependant, la fonction tan^-1 est définie à $\pi$ radians près. En fait, pour déterminer la phase, il faut se référer au plan de constellations (figure 4.2).

La phase varie donc par paliers de manière discontinue. La figure 4.3 montre la valeur instantanée de $\varphi$(t) pour une séquence binaire donnée. On peut remarquer que la phase peut subir des sauts de $\pm$${\frac{{\pi}}{{2}}}$ ou de $\pm$$\pi$ toutes les T secondes. Ces différentes transitions sont représentées en pointillés sur la figure 4.2. Lors des transitions $\pm$$\pi$ , on voit que l'enveloppe instantanée du signal peut s'annuler pendant le temps de la transition (passage par zéro dans le plan des constellations). En effet, des transitions instantanées sont irréalisables physiquement. Si le signal est filtré, il peut perdre sa propriété d'enveloppe constante, ce qui est gênant lorsque qu'il passe dans un système présentant des distorsions d'amplitude. Enfin, des sauts brusques de phase impliquent également une bande passante plus importante. La figure 4.4 montre un signal modulé QPSK pour une séquence binaire donnée.

Figure: Illustration de la modulation QPSK: (a) séquence binaire I(t) , (b) signal s_I(t) , (c) signal s_Q(t) , (d) s_I(t) cos$\left(\vphantom{2\pi f_{c}t}\right.$2$\pi$f_ct$\left.\vphantom{2\pi f_{c}t}\right)$ , (e) s_Q(t) sin$\left(\vphantom{2\pi f_{c}t}\right.$2$\pi$f_ct$\left.\vphantom{2\pi f_{c}t}\right)$ et (f) signal modulé s(t) .

4.3.5.2 Modulateur QPSK

La figure 4.5 montre le modulateur QPSK. Les différents signaux apparaissant sur cette figure sont également présents à la figure 4.4.

Figure 4.5: Modulateur QPSK.

 

4.3.5.3 Démodulateur QPSK

Le signal modulé QPSK correspond à la modulation en quadrature de deux signaux numériques en bande de base. La première phase de la démodulation consiste donc à retrouver les composantes en phase et en quadrature du signal modulé. Les deux signaux numériques en bande de base obtenus sont ensuite démodulés grâce au filtre adapté (un pour chaque signal) et recombinés pour former la séquence binaire de départ. Le schéma du démodulateur QPSK est repris à la figure 4.6.

Figure 4.6: Démodulateur QPSK.

 

4.3.5.4 Densité spectrale de puissance

L'enveloppe complexe du signal modulé est donnée par

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ (4.60)

où le signal de mise en forme g(t) et la variable aléatoire D_k valent respectivement

$$\left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right)$$ g(t) = (4.61)

$$\left(\vphantom{\pm\frac{A}{\sqrt{2}},\pm\frac{A}{\sqrt{2}}}\right. \pm {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}} \pm {\frac{{A}}{{\sqrt{2}}}} \left.\vphantom{\pm\frac{A}{\sqrt{2}},\pm\frac{A}{\sqrt{2}}}\right)$$ D_k = (4.62)

Nous faisons à nouveau l'hypothèse que les quatre valeurs possibles pour D_k sont équiprobables. La moyenne $\mu_{{D}}^{}$ est donc nulle et la variance est égale à $\sigma_{{D}}^{{2}}$ = E$\left\{\vphantom{ \left\Vert D_{k}\right\Vert ^{2}}\right.$$\left\Vert\vphantom{ D_{k}}\right.$D_k$\left.\vphantom{ D_{k}}\right\Vert^{{2}}_{}$$\left.\vphantom{ \left\Vert D_{k}\right\Vert ^{2}}\right\}$ = A² . Il vient, après calcul de la transformée de FOURIER du signal de mise en forme,

$$\gamma_{{e_{s}}}^{} \left(\vphantom{2fT_{b}}\right. \left.\vphantom{2fT_{b}}\right)$$ (4.63)

La densité spectrale de puissance d'un signal modulé en QPSK s'exprime finalement par

$$\gamma_{{s}}^{} {\frac{{A^{2}T_{b}}}{{2}}} \left\{\vphantom{ sinc^{2}\left[\left(f-f_{c}\right)2T_{b}\right]+sinc^{2}\left[\left(f+f_{c}\right)2T_{b}\right]}\right. \left[\vphantom{\left(f-f_{c}\right)2T_{b}}\right. \left(\vphantom{f-f_{c}}\right. \left.\vphantom{f-f_{c}}\right) \left.\vphantom{\left(f-f_{c}\right)2T_{b}}\right] \left[\vphantom{\left(f+f_{c}\right)2T_{b}}\right. \left(\vphantom{f+f_{c}}\right. \left.\vphantom{f+f_{c}}\right) \left.\vphantom{\left(f+f_{c}\right)2T_{b}}\right] \left.\vphantom{ sinc^{2}\left[\left(f-f_{c}\right)2T_{b}\right]+sinc^{2}\left[\left(f+f_{c}\right)2T_{b}\right]}\right\}$$ (4.64)

et est identique à celle de la modulation BPSK pour un débit binaire double.

Notes

... suivantes^4.3

On utilise parfois l'ensemble de ces valeurs décalées de ${\frac{{\pi}}{{4}}}$ , ce qui conduit à l'ensemble des phases possibles suivant: $\left\{\vphantom{ -A, Ae^{-j\frac{\pi}{2}}, A, Ae^{j\frac{\pi}{2}}}\right.$ - A, Ae^{-j${\frac{{\pi}}{{2}}}$}, A, Ae^{j${\frac{{\pi}}{{2}}}$}$\left.\vphantom{ -A, Ae^{-j\frac{\pi}{2}}, A, Ae^{j\frac{\pi}{2}}}\right\}$ .