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4.4.4 Modulation à saut de phase minimum (Minimum Shift Keying)

Bien que plus avantageuse que la modulation QPSK, la modulation OQPSK présente encore un inconvénient: des discontinuités de phase qui entraînent une bande passante importante. La modulation à saut de phase minimum (MSK) permet de supprimer ces discontinuités de phase. Celle-ci présente les mêmes particularités que la modulation OQPSK sauf que les sauts de phase se font de manière continue pendant la durée d'un bit Tb de telle sorte que la phase instantanée du signal modulé est une fonction continue du temps.

4.4.4.1 Description

La caractéristique qui différencie la modulation MSK de la modulation OQPSK est le signal de mise en forme qui prend maintenant la forme

g(t) = rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{t}\right)$ sin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right)$ (4.95)

Les séquences sI(t) et sQ(t) sont formées exactement de la même manière que pour la modulation OQPSK. La composante en phase sI(t) s'écrit sous la forme
sI(t) = A $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$I2k rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t-2kT_{b}}\right.$t - 2kTb$\displaystyle \left.\vphantom{t-2kT_{b}}\right)$ sin$\displaystyle \left[\vphantom{\frac{\pi\left(t-2kT_{b}\right)}{2T_{b}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\pi\left(t-2kT_{b}\right)}}{{2T_{b}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi\left(t-2kT_{b}\right)}{2T_{b}}}\right]$ (4.96)
  = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$A I2k $\displaystyle \left(\vphantom{-1}\right.$ -1$\displaystyle \left.\vphantom{-1}\right)^{{k}}_{}$ rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t-2kT_{b}}\right.$t - 2kTb$\displaystyle \left.\vphantom{t-2kT_{b}}\right)$ sin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right)$ (4.97)
  = cos$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$ - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}}\right)$ $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$A2k rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t-2kT_{b}}\right.$t - 2kTb$\displaystyle \left.\vphantom{t-2kT_{b}}\right)$ (4.98)

où nous avons utilisé le fait que sin(a) = cos(a - $ {\frac{{\pi}}{{2}}}$) et défini A2k = A I2k$ \left(\vphantom{-1}\right.$ -1$ \left.\vphantom{-1}\right)^{{k}}_{}$ . Le signal sI(t) peut être vu comme un signal du type NRZ multiplié par une cosinusoïde. Un développement similaire donne pour la composante en quadrature de phase

sQ(t) = sin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$ - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}}\right)$ $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$A2k+1 rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t-2kT_{b}}\right.$t - 2kTb$\displaystyle \left.\vphantom{t-2kT_{b}}\right)$ (4.99)

où A2k+1 = A I2k+1 $ \left(\vphantom{-1}\right.$ -1$ \left.\vphantom{-1}\right)^{{k}}_{}$ . Ces deux expressions vont nous permettre de déterminer l'enveloppe instantanée et la variation de phase instantanée du signal modulé. L'enveloppe est donnée par
a(t) = $\displaystyle \sqrt{{s_{I}^{2}(t)+s_{Q}^{2}(t)}}$ (4.100)
  = $\displaystyle \sqrt{{A^{2} \cos^{2}\left(\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}\right)+A^{2} \sin^{2}\left(\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}\right)}}$ (4.101)
  = A (4.102)

L'enveloppe du signal modulé est donc constante et égale à A . La phase instantanée peut s'exprimer par
$\displaystyle \varphi$(t) = tan-1$\displaystyle \left[\vphantom{\frac{s_{Q}(t)}{s_{I}(t)}}\right.$$\displaystyle {\frac{{s_{Q}(t)}}{{s_{I}(t)}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{s_{Q}(t)}{s_{I}(t)}}\right]$ (4.103)
  = tan-1$\displaystyle \left[\vphantom{\tan\left(\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}\righ... ...fty}^{+\infty}A_{2k} \textrm{rect}_{[0,2T_{b}]}\left(t-2kT_{b}\right)}}\right.$tan$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$ - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}}\right)$ $\displaystyle {\frac{{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_{2k+1} \textrm{rect}_{[0,2T_... ...k=-\infty}^{+\infty}A_{2k} \textrm{rect}_{[0,2T_{b}]}\left(t-2kT_{b}\right)}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\tan\left(\frac{\pi t}{2T_{b}}-\frac{\pi}{2}\righ... ...fty}^{+\infty}A_{2k} \textrm{rect}_{[0,2T_{b}]}\left(t-2kT_{b}\right)}}\right]$ (4.104)

Si maintenant, on observe l'évolution de la phase pendant un intervalle de temps Tb d'un bit, la fraction dans l'argument de la fonction tan-1 vaut $ \pm$1 et la variation de la phase vaut

$\displaystyle \Delta$$\displaystyle \varphi$(t) = $\displaystyle \pm$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$ (4.105)

La phase varie donc linéairement de $ {\frac{{\pi}}{{2}}}$ sur la durée de Tb secondes. Contrairement aux modulations vues jusqu'ici, la modulation MSK présente des sauts de phase qui se réalisent en ``douceur''. Par exemple, pour passer de $ {\frac{{\pi}}{{4}}}$ à $ {\frac{{3\pi}}{{4}}}$ , la phase prend Tb secondes, tandis que l'enveloppe reste constante au cours du temps. La figure 4.10 montre en pointillés les transitions possibles pour la modulation MSK.

Figure 4.10: Diagramme de constellation pour la modulation MSK.
5253  

On peut également représenter l'évolution de la phase par ce que l'on appelle le treillis de phase. Il représente toutes les variations possibles de $ \varphi$(t) . La figure 4.11 montre le treillis de phase pour la modulation MSK. La phase est maintenant une fonction continue du temps. On peut espérer avoir une bande passante moins importante que pour la modulation QPSK ou OQPSK.

Figure 4.11: Treillis de phase pour la modulation MSK.
5265  

La figure 4.12 montre un signal modulé MSK pour une séquence binaire donnée. En observant le signal modulé, on peut également l'interpréter comme une modulation de fréquence. En effet, en écrivant

s(t) = a(t) cos$\displaystyle \left[\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi(t)}\right.$2$\displaystyle \pi$fct + $\displaystyle \varphi$(t)$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi f_{c}t+\varphi(t)}\right]$ (4.106)

et considérant une période Tb , nous obtenons
s(t) = A cos$\displaystyle \left(\vphantom{2\pi f_{c}t\pm\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right.$2$\displaystyle \pi$fct$\displaystyle \pm$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi f_{c}t\pm\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right)$ (4.107)
  = A cos$\displaystyle \left[\vphantom{2\pi\left(f_{c}\pm\frac{1}{4T_{b}}\right)t}\right.$2$\displaystyle \pi$$\displaystyle \left(\vphantom{f_{c}\pm\frac{1}{4T_{b}}}\right.$fc$\displaystyle \pm$$\displaystyle {\frac{{1}}{{4T_{b}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{f_{c}\pm\frac{1}{4T_{b}}}\right)$t$\displaystyle \left.\vphantom{2\pi\left(f_{c}\pm\frac{1}{4T_{b}}\right)t}\right]$ (4.108)

qui représente bien une modulation de fréquence dont l'excursion est égale à $ \Delta$f = 2$ {\frac{{1}}{{4T_{b}}}}$ = $ {\frac{{1}}{{2T_{b}}}}$ .

Figure: Illustration de la modulation MSK: (a) séquence binaire I(t) , (b) sI(t) , (c) sQ(t) , (d)  sI(t) cos$ \left(\vphantom{2\pi f_{c}t}\right.$2$ \pi$fct$ \left.\vphantom{2\pi f_{c}t}\right)$ , (e)  sQ(t) sin$ \left(\vphantom{2\pi f_{c}t}\right.$2$ \pi$fct$ \left.\vphantom{2\pi f_{c}t}\right)$ et (f) signal modulé s(t) .
\includegraphics[width=13cm]{images/msk}

4.4.4.2 Densité spectrale de puissance

L'enveloppe complexe du signal modulé est à nouveau donnée par

es(t) = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$Ak g(t - kTb) ejk$\scriptstyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$ (4.109)

où le signal de mise en forme g(t) et la variable aléatoire Ak valent respectivement
g(t) = rect[0, 2Tb]$\displaystyle \left(\vphantom{t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{t}\right)$ sin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\pi t}}{{2T_{b}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi t}{2T_{b}}}\right)$ (4.110)
Ak $\displaystyle \in$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ +A,-A}\right.$ + A, - A$\displaystyle \left.\vphantom{ +A,-A}\right\}$ (4.111)

Nous faisons à nouveau l'hypothèse que les deux valeurs possibles pour Ak sont équiprobables. La moyenne $ \mu_{{A}}^{}$ est donc nulle et la variance est égale à $ \sigma_{{A}}^{{2}}$ = E$ \left\{\vphantom{ A_{k}^{2}}\right.$Ak2$ \left.\vphantom{ A_{k}^{2}}\right\}$ = A2 . Il vient après calcul de la transformée de FOURIER du signal de mise en forme $ \mathcal {H}$(f )= $ \mathcal {G}$$ \left(\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right.$f + $ {\frac{{1}}{{4T_{b}}}}$$ \left.\vphantom{f+\frac{1}{4T_{b}}}\right)$ ,

$\displaystyle \gamma_{{v}}^{}$(f )= $\displaystyle {\frac{{16 A^{2}T_{b}}}{{\pi^{2}}}}$$\displaystyle \left\{\vphantom{ \frac{\cos\left[2\pi\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\right)T_{b}\right]}{1-16\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\right)^{2}T_{b}^{2}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\cos\left[2\pi\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\right)T_{b}\right]}}{{1-16\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\right)^{2}T_{b}^{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\cos\left[2\pi\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\rig... ...{b}\right]}{1-16\left(f+\frac{1}{4T_{b}}\right)^{2}T_{b}^{2}}}\right\}^{{2}}_{}$ (4.112)

La densité spectrale de puissance d'un signal modulé en MSK s'exprime donc finalement par

$\displaystyle \gamma_{{s}}^{}$(f )= $\displaystyle {\frac{{4 A^{2}T_{b}}}{{\pi}}}$$\displaystyle \left\{\vphantom{ \left(\frac{\cos\left[2\pi\left(f-f_{c}\right)T... ...}\right)T_{b}\right]}{1-16\left(f+f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}\right)^{2}}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\cos\left[2\pi\left(f-f_{c}\right)T_{b}\right]}{1-16\left(f-f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\cos\left[2\pi\left(f-f_{c}\right)T_{b}\right]}}{{1-16\left(f-f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\cos\left[2\pi\left(f-f_{c}\right)T_{b}\right]}{1-16\left(f-f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}}\right)^{{2}}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\cos\left[2\pi\left(f+f_{c}\right)T_{b}\right]}{1-16\left(f+f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{\cos\left[2\pi\left(f+f_{c}\right)T_{b}\right]}}{{1-16\left(f+f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\cos\left[2\pi\left(f+f_{c}\right)T_{b}\right]}{1-16\left(f+f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}}\right)^{{2}}_{}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \left(\frac{\cos\left[2\pi\left(f-f_{c}\right)T_... ...\right)T_{b}\right]}{1-16\left(f+f_{c}\right)^{2}T_{b}^{2}}\right)^{2}}\right\}$ (4.113)

Contrairement à la densité spectrale de puissance de la modulation OQPSK qui décroît en 1/f2 , la densité spectrale de la modulation MSK décroît en 1/f4 , ce qui fournit donc un gain en bande passante. La figure 4.13 permet de comparer les densités spectrales de puissance des modulation BPSK, OQPSK ($ \equiv$ QPSK) et MSK pour Rb = 1/Tb = 1 [b/s] . Nous voyons que la décroissance en 1/f4 est accompagnée d'un élargissement du lobe principal par rapport à la modulation OQPSK.

Figure 4.13: Comparaison des densités spectrales de puissance.
5375  

La modulation utilisée pour la transmission GSM est une variante de la MSK; il s'agit d'une technique appelée Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK) pour laquelle l'onde de mise en forme est une gaussienne.

Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2007-10-27