5.1 Définition de l'interférence inter-symboles

Considérons un système de modulation d'impulsions PAM (Pulse Amplitude Modulation) en bande de base dont le schéma général est représenté à la figure 5.1. L'information à transmettre est la séquence binaire {b_k} dont chaque symbole (1 ou 0) est de durée T_b . Le modulateur va mettre en forme la séquence {b_k} , grâce à l'impulsion de mise en forme g_E(t) , et fournir le signal

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ (5.1)

où les amplitudes A_k (représentant l'information binaire transmise à l'instant t = kT_b ) sont liées à la séquence {b_k} par la relation

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{cc} +1 & \textrm{si }b_{k}=1 -1 & \textrm{si }b_{k}=0\end{array}}\right. \begin{array}{cc} +1 & \textrm{si }b_{k}=1 -1 & \textrm{si }b_{k}=0\end{array}$$ (5.2)

Figure 5.1: Schéma général de la transmission en bande de base

 

Le signal transmis au travers du canal est donc s(t) . Celui-ci va être modifié par convolution avec la réponse impulsionnelle h(t) du canal de transmission. De plus, un bruit (supposé blanc et gaussien) vient s'ajouter au signal dans le canal. Le signal reçu, noté x(t) , est ensuite filtré par un filtre de réception, de réponse impulsionnelle g_R(t) . La sortie de ce filtre, notée y(t) , est échantillonnée au rythme de l'émetteur, c'est-à-dire toutes les T_b secondes et est synchronisé avec celui-ci (les instants d'échantillonnage sont déterminés par une horloge qui est extraite du signal y(t) ). Finalement la séquence d'échantillons ainsi obtenue est utilisée pour reconstruire la séquence originale {b_k} au moyen d'un organe de décision. L'amplitude de chaque échantillon est comparée à un seuil $\lambda$ .

La sortie du filtre de réception peut s'écrire sous la forme

$$\sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \otimes \otimes \otimes \otimes$$ (5.3)

où le symbole $\otimes$ est une convolution. En prenant les notations suivantes

$$\mu \otimes \otimes$$ = (5.4)

$$\otimes$$ n(t) = (5.5)

où $\mu$ est un facteur d'échelle constant et $\mu$p(t) est le résultat du passage du signal de mise en forme g_E(t) au travers des deux filtres h(t) et g_R(t) caractérisant respectivement le canal et le filtre de réception. Le terme n(t) est le résidu du bruit additif w(t) ajouté par le canal, filtré par le filtre de réception. Il représente donc toujours un bruit blanc gaussien car il est passé au travers d'un filtre linéaire. En général, w(t) est modélisé comme un bruit blanc additif gaussien de moyenne nulle. On obtient finalement

$$\mu \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ (5.6)

Cette formule montre que le train d'impulsions n'est plus rectangulaire. Le facteur d'échelle $\mu$ est choisi de telle sorte que le signal p(t) soit normalisé, c'est-à-dire

p(0) = 1 (5.7)

Cette relation justifie l'utilisation de $\mu$ comme facteur d'échelle pour tenir compte des changements de l'amplitude du signal lors de son passage à travers le système. De plus, cette relation représente une contrainte mathématique et n'a aucune signification physique. Avant de poursuivre, il est important de remarquer que, pour être rigoureux, il faudrait introduire un délai t₀ dans l'argument de p(t - kT_b) afin de représenter l'effet du délai de la transmission au travers du système. Cependant, pour simplifier l'exposé, nous choisissons de prendre ce délai égal à zéro, et cela sans perdre en généralité.

Vu qu'une convolution dans le domaine temporel équivaut à un produit dans le domaine fréquentiel, nous déduisons de la relation 5.4 que

$$\mu \mathcal {P} \mathcal {G} \mathcal {H} \mathcal {G}$$ (5.8)

Le signal y(t) à la sortie du filtre de réception est échantillonné aux instants t_i = iT_b (il est intéressant de rappeler que l'échantillonnage se fait à la fin de la période, ceci résultant de la théorie de du filtre adapté), ce qui fournit les échantillons

$$\mu \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$$ y(t_i) = (5.9)

$$\mu \sum_{{\begin{array}{c} k=-\infty\\ k\neq i\end{array}}}^{{+\infty}}$$ = (5.10)

Le premier terme $\mu$A_i représente la contribution du i -ème bit transmis et donc le symbole d'intérêt. Le second terme représente l'effet résiduel de tous les autres bits transmis sur le i -ème bit, qu'ils aient été transmis avant ou après le i -ème bit. Cet effet résiduel est appelé interférence inter-symboles. L'importance de cet effet dépend de l'étalement de p(t) . On peut déjà remarquer que pour minimiser le terme d'interférence inter-symboles, il faudra choisir une forme adéquate pour la fonction p(t) de manière à éliminer ce second terme. Le dernier terme de n(t_i) est le bruit n(t) échantillonné à l'instant t_i .

En l'absence d'interférence inter-symboles et de bruit, l'équation 5.10 se réduit à

$$\mu$$ (5.11)

ce qui montre bien que, sous ces conditions idéales, le i -ème bit transmis est décodé correctement. La présence inévitable d'interférence inter-symboles et de bruit dans le système introduit des erreurs au niveau de l'organe de décision. Dès lors, lors la conception du filtre de mise en forme et du filtre de réception, l'objectif est de minimiser les effets de l'interférence inter-symboles et du bruit, aboutissant ainsi à un taux d'erreurs aussi faible que possible.

Il existe deux types de transmission:

• la transmission où le bruit est prépondérant, c'est le cas des communications satellite par exemple, pour lequel on privilégie le bon fonctionnement du filtre adapté,
• la transmission où le rapport signal sur bruit est important, comme pour le cas du réseau téléphonique par exemple, et dès lors le fonctionnement du système est essentiellement limité par l'interférence inter-symboles, et non par le bruit.

Dans l'étude qui suit, nous nous placerons dans le second cas et nous négligeons ainsi le terme n(t) et nous nous focalisons sur la question de la réduction, voire de l'élimination de l'interférence inter-symboles.