6.2.2 Génération des séquences pseudo-aléatoires

Une séquence pseudo-aléatoire est une séquence binaire périodique dont l'onde ressemble, mis à part le caractère périodique, à une séquence binaire totalement aléatoire proche d'un bruit. Ce type de séquences est par exemple généré à l'aide d'un registre à décalage à contre-réaction, dont le schéma général est montré à la figure 6.4.

Figure 6.4: Registre à décalage à contre-réaction.

 

Ce registre est constitué de m flip-flops (éléments mémoire) et d'un circuit logique qui sont interconnectés pour former un circuit à contre-réaction. Les flip-flops sont régulés par une seule horloge. À chaque coup d'horloge, le contenu de chaque flip-flop est décalé d'une place vers la droite. De même, à chaque coup d'horloge, le circuit logique calcule une fonction booléenne du contenu des m flip-flops et le résultat est réinjecté à l'entrée du registre. La séquence pseudo-aléatoire est ainsi déterminée par le nombre m de flip-flops, l'état initial du registre et la fonction booléenne implémentée.

Avec un nombre m de flip-flops, le registre peut avoir 2^m états possibles . Ainsi, la séquence pseudo-aléatoire, issue de la sortie du dernier flip-flop, peut avoir au maximum une période de 2^m . Lorsque le circuit logique est constitué uniquement d'additionneurs modulo-2, le registre est dit linéaire et l'état 0 (zéro dans chaque flip-flop) n'est pas permis sinon la séquence pseudo-aléatoire reste indéfiniment nulle. Dès lors, une séquence pseudo-aléatoire générée par un registre à décalage linéaire ne peut avoir qu'une période maximale de 2^m - 1 . On parle alors de séquence de longueur maximale.

Tout l'art de la conception du circuit consiste à synthétiser une fonction booléenne génératrice d'une séquence se rapprochant au mieux d'une séquence aléatoire.

Exemple. Considérons le registre à décalage linéaire de la figure 6.5.

Figure 6.5: Exemple de registre à décalage linéaire.

 

L'état initial du registre est supposé être 100 (lorsqu'on lit le contenu des flip-flops de la gauche vers la droite). Les états successifs du registre sont 100, 110, 111 , 011, 101, 010 , 001, 100, ... La séquence de sortie est alors égale à 00111010... , qui se répète avec une période 2³ - 1 = 7 . Il est à noter que l'état initial est arbitraire mais non nul.

6.2.2.1 Propriétés d'une séquence de longueur maximale

Les séquences de longueur maximale ont des propriétés proches de celles des séquences binaires purement aléatoires^6.1.

Considérons des symboles 0 et 1 respectivement représentés par les niveaux -1 et +1 . Voici quelques propriétés des séquences pseudo-aléatoires

1. durant chaque période d'une séquence pseudo-aléatoire, il y a toujours un symbole 1 de plus que de 0 -le choix d'avoir plus de 1 que de 0 plutôt que l'inverse est arbitraire. Dès lors,

   $$\left\{\vphantom{ c(t)}\right. \left.\vphantom{ c(t)}\right\} {\frac{{1}}{{N}}}$$ (6.2)

   
   

2. la fonction d'autocorrélation d'une séquence de longueur maximale est périodique.

Détaillons quelque peu cette dernière propriété. La période d'une séquence de longueur maximale est définie par

N = 2^m - 1 (6.3)

Appelons c(t) l'onde résultante de la séquence de longueur maximale, comme illustré à la figure 6.6(a) pour N = 7 . La période de l'onde c(t) est égale à

T_b = NT_c (6.4)

où T_c , appelée période chip, est la durée d'un bit de la séquence de longueur maximale. Par définition, la fonction d'autocorrélation d'un signal périodique c(t) de période T_b est

$$\Gamma_{{cc}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) {\frac{{1}}{{T_{b}}}} \int_{{-T_{b}/2}}^{{+T_{b}/2}} \tau \tau$$ (6.5)

où $\tau$ appartient à l'intervalle [- T_b/2, + T_b/2] . En appliquant cette formule à la séquence de longueur maximale c(t) , on obtient

$$\Gamma_{{cc}}^{} \left(\vphantom{\tau}\right. \tau \left.\vphantom{\tau}\right) \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1-\frac{N+1}{NT_{c}}\left\ver... ...tau\right\vert\leq T_{c} -\frac{1}{N} & \textrm{ailleurs}\end{array}}\right. \begin{array}{ll} 1-\frac{N+1}{NT_{c}}\left\vert\tau\right\vert, ... ...ft\vert\tau\right\vert\leq T_{c} -\frac{1}{N} & \textrm{ailleurs}\end{array}$$ (6.6)

Ce résultat est montré à la figure 6.6(b) pour m = 3 et N = 7 .

Figure 6.6: Propriétés d'une séquence de longueur maximale.

 

Étant donné qu'une périodicité dans le domaine temporel correspond à un échantillonnage uniforme dans le domaine fréquentiel, et la forme de la fonction d'autocorrélation de c(t) , on peut déterminer la densité spectrale de puissance de c(t)

$$\gamma_{{c}}^{} {\frac{{1}}{{N^{2}}}} \delta {\frac{{1+N}}{{N^{2}}}} \sum_{{n=-\infty, n\neq0}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{\frac{\sin(\frac{n}{N})}{\pi\frac{n}{N}}}\right. {\frac{{\sin(\frac{n}{N})}}{{\pi\frac{n}{N}}}} \left.\vphantom{\frac{\sin(\frac{n}{N})}{\pi\frac{n}{N}}}\right)^{{2}}_{} \delta \left(\vphantom{f-\frac{n}{NT_{c}}}\right. {\frac{{n}}{{NT_{c}}}} \left.\vphantom{f-\frac{n}{NT_{c}}}\right)$$ (6.7)

qui est représentée à la figure 6.6(c) pour m = 3 et N = 7 . Au vu de ces résultats, il est maintenant possible de comparer une séquence de longueur maximale et une séquence réellement aléatoire:

• sur une période de la séquence de longueur maximale, la fonction d'autocorrélation de c(t) est similaire à celle de la séquence aléatoire. En effet, la fonction d'autocorrélation d'une séquence aléatoire vaut

  $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1-\frac{\left\vert\tau\right\... ...\right\vert\leq T_{c} 0 & \left\vert\tau\right\vert>T_{c}\end{array}}\right. \begin{array}{ll} 1-\frac{\left\vert\tau\right\vert}{T_{c}} & \left\vert\tau\right\vert\leq T_{c} 0 & \left\vert\tau\right\vert>T_{c}\end{array}$$ (6.8)

  
  
  Il apparaît donc que les densités spectrales des deux séquences ont une même enveloppe, à savoir sinc²(fT) .
• la différence fondamentale réside dans le fait que le spectre de la séquence aléatoire est continu tandis que celui de la séquence de longueur maximale est composé de raies espacées de 1/NT_c .

Lorsque l'on augmente la valeur de N , c'est-à-dire le longueur de la séquence de longueur maximale, la séquence pseudo-aléatoire se rapproche plus d'une séquence aléatoire pure. Cependant, le prix à payer avec une grande valeur de N , est une augmentation de la bande passante nécessaire. Un compromis doit dès lors être établi.

6.2.2.2 Choix d'une séquence de longueur maximale

La question qui se pose à présent est: comment choisir la fonction logique du registre à décalage pour obtenir une période désirée N ? La littérature fournit des tables avec les connections à réaliser entre les éléments du circuit pour différentes valeurs de m . Une telle table est montrée à la figure 6.7.

Figure 6.7: Table permettant de construire le registre à décalage adéquat [15, page 584].

 

Plus m augmente, plus il y a de possibilités de circuits.

Exemple. Considérons une séquence de longueur maximale nécessitant l'utilisation d'un registre de longueur m = 5 . Pour cette valeur de m , nous choisissons dans la table une boucle à rétroaction du type [5, 2] . La configuration correspondante est montrée à la figure 6.8(a). En supposant un état initial 10000, la figure 6.2 montre l'évolution du registre pour une période de la séquence de longueur maximale. On remarque qu'en fin de période, le registre est revenu à son état initial. On aurait également pu choisir la configuration [5, 4, 2, 1] comme le montre la figure 6.8(b) et on aurait une autre séquence pseudo-aléatoire de même longueur.

Figure 6.8: Deux schémas possibles pour m = 5  [15, page 584].

 

Tableau 6.2: Évolution du registre de la figure 6.8(a) au cours d'une période de la séquence [15, page 585].

	Registres
Bit de rétroaction	1	0	0	0	0	Bit de sortie
0	0	1	0	0	0	0
1	1	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	0	1
1	1	0	1	1	1	0
1	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	0	1
0	0	0	0	1	1	0
1	1	0	0	0	1	1
1	1	1	0	0	0	1
1	1	1	1	0	0	0
1	1	1	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0
0	0	1	1	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	0	0	1
1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	0	1	1	0
0	0	0	1	0	1	1
1	1	0	0	1	0	1
0	0	1	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	1
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	0	1

Notes

... aléatoires^6.1

L'utilisation d'une séquence réellement aléatoire ne permettrait pas de restituer le signal utile au récepteur précisément en raison de l'aspect aléatoire!