6.2.1 Gradients morphologiques

Si B est un élément structurant de petite dimension, la différence ensembliste X - (X $\ominus$ B) fournit les contours intérieurs de l'image binaire X, alors que la différence (X $\oplus$ B) - X produit les contours extérieurs de l'image. On peut réaliser des opérations similaires sur des images en niveaux de gris. L'opérateur

$$\ominus$$ (6.45)

appelé gradient d'érosion, constitue un moyen commode d'accentuer les transitions d'une image en niveaux de gris f. Un opérateur qui remplit la même fonction, est le gradient de dilatation

$$\oplus$$ (6.46)

Par combinaison de ces deux opérateurs, il est possible de synthétiser une kyrielle de nouveaux opérateurs, tous destinés à extraire les contours de l'image. L'objectif d'une utilisation des deux opérateurs est la symétrisation du traitement d'une image et de son arrière-fond. Les exemples sont nombreux (cf. figures 6.9 et 6.10):

• le gradient morphologique de BEUCHER: GE(f )+ GD(f ). Il est illustré à la figure 6.9;
• le chapeau haut-de-forme (top-hat en anglais). On en définit 2:
  • le white top-hat, égal à l'image moins l'ouvert: f - (foB)
  • le black top-hat, égal au fermé moins l'image: (f$\bullet$B) - f
• les opérateurs de détection de contours marqués: min(GE(f ), GD(f )), max(GE(f ), GD(f ))
• le laplacien non-linéaire: GD(f )- GE(f ).

Figure 6.9: Gradient de BEUCHER.

(a) Image originale f	(b) f $\oplus$ B
(c) f $\ominus$ B	(d) (f $\oplus$ B) - (f $\ominus$ B) (vidéo inverse)

Figure 6.10: Différents détecteurs de contours non-linéaires (vidéo inverse).

(a) (f $\oplus$ B) - (f $\ominus$ B)	(b) f - foB (white top-hat)
(c) max(GE(f ), GD(f ))	(d) GD(f )- GE(f )

Tous ces opérateurs morphologiques sont rendus plus robustes si un filtrage usuel précède leur emploi. Les schémas de filtrage hybrides, formés par mélange d'opérateurs dits classiques et de gradients morphologiques, ont des performances comparables voire supérieures à ceux des schémas conventionnels basés sur la combinaison de filtres et de gradients linéaires [40]. En outre, les opérateurs morphologiques nécessitent moins d'opérations.