8.2.4 Manipulation de l'histogramme

Soit o(x, y) l'image de sortie. On cherche à déterminer le lien entre l'histogramme hist_o(l ) de cette image avec celui de l'image d'entrée f. D'une manière générale, pour une valeur l_o de l'image de sortie, il existe une fonction $\phi$ telle que

$$\phi$$ (8.6)

Si cette fonction admet un inverse, ce qui est le cas si l'on impose la croissance et l'existence d'une dérivée non nulle,

$$\phi^{{-1}}_{}$$ (8.7)

Si l'on interprète l'histogramme comme une densité de probabilité, on arrive à une égalité entre les ``masses'' que sont

hist_o(l_o)dl_o = hist_f(l_f)dl_f (8.8)

Dès lors,

$${\frac{{hist_{f}(l_{f})}}{{dl_{o}/dl_{f}}}}$$ hist_o(l_o) = (8.9)

$$\left.\vphantom{\frac{hist_{f}(l_{f})}{d\phi(l_{f})/dl_{f}}}\right. {\frac{{hist_{f}(l_{f})}}{{d\phi(l_{f})/dl_{f}}}} \left.\vphantom{\frac{hist_{f}(l_{f})}{d\phi(l_{f})/dl_{f}}}\right\vert _{{l_{f}=\phi^{-1}(l_{o})}}^{}$$ = (8.10)

et donc

$${\frac{{hist_{f}(\phi^{-1}(l))}}{{\frac{d\phi}{dl}(\phi^{-1}(l))}}}$$ (8.11)

8.2.4.1 Exemple: fonction parabolique

Considérons la fonction $\phi$ suivante

$$\phi {\frac{{1}}{{L}}}$$ (8.12)

d'où également l_f = $\sqrt{{Ll_{o}}}$. Par application de la formule 8.11,

$${\frac{{hist_{f}(\sqrt{Ll})}}{{\frac{2}{L}\sqrt{Ll}}}} {\frac{{hist_{f}(\sqrt{Ll})}}{{2\sqrt{l/L}}}}$$ (8.13)

8.2.4.2 Égalisation de l'histogramme

Dans une image réelle, tous les niveaux ne sont pas présents avec une même occurrence. Il en résulte donc des disparités dans l'histogramme.

L'égalisation de l'histogramme d'une image est une méthode courante de rehaussement. Elle vise à assurer une distribution homogène des valeurs dans la totalité de la plage dynamique des valeurs possibles. Il s'agit donc d'une distorsion de l'échelle des valeurs. Formellement, pour toute valeur l de l'histogramme résultat, le nombre de pixels devrait valoir ${\frac{{A({D_{f}})}}{{L}}}$, où A(D_f) représente l'aire du support de définition de la fonction f. L'équation 8.11 devient donc

$${\frac{{d\phi}}{{dl}}} {\frac{{L}}{{A({D_{f}})}}}$$ (8.14)

Par intégration des membres de cette dernière relation,

$$\phi {\frac{{L}}{{A({D_{f}})}}} \int_{{0}}^{{l}}$$ (8.15)

Comme on peut estimer la probabilité d'un niveau par le rapport de la fréquence à l'aire du domaine de définition de la fonction

$${\frac{{hist_{f}(l)}}{{A({D_{f}})}}}$$ (8.16)

De plus, la fonction de répartition F est l'intégrale cumulée des probabilités

$$\int_{{0}}^{{l}} {\frac{{1}}{{A({D_{f}})}}} \int_{{0}}^{{l}}$$ (8.17)

Dès lors,

$$\phi$$ (8.18)

Autrement dit, l'image o(x, y) traitée par la fonction qui effectue une égalisation de l'histogramme vaut

o(x, y) = LF(f (x, y)) (8.19)

En raison des valeurs quantifiées, l'égalisation de l'histogramme peut fournir un histogramme non uniforme. Il ne faut pas s'en étonner. Ce phénomène est illustré à la figure 8.4.

Figure 8.4: Égalisation d'histogramme.

(a) Image originale f	(b) Après égalisation de l'histogramme
(c) Histogramme original	(d) Histogramme après égalisation