8.2.5 Filtrage homomorphique

Une image peut être vue comme une fonction à deux dimensions f (x, y) dont la valeur en un point représente l'intensité de l'image en ce point. Les images que l'on perçoit dans la vie courante sont obtenues par la lumière réfléchie par les différents objets inclus dans la scène observée. La nature de f (x, y) peut donc être caractérisée par deux composantes:

1. l'illumination i(x, y) qui représente la quantité de lumière incidente qui illumine la scène en question.
2. la réflectance r(x, y) qui représente la quantité de lumière réfléchie par les objets de la scène.

L'illumination et la réflectance permettent de modéliser l'image f (x, y) par le produit suivant:

f (x, y) = i(x, y)r(x, y) (8.20)

où

0 < i(x, y) < + $$\infty$$

0 < r(x, y) < 1

La nature de i(x, y) est déterminée par les sources lumineuses tandis que celle de r(x, y) est déterminée par les caractéristiques des objets de la scène.

Le modèle qui vient d'être introduit peut être utilisé pour améliorer l'apparence d'une image en réalisant simultanément une compression de la dynamique de luminosité et une augmentation du contraste. L'expression 8.20 ne permet pas de réaliser un traitement séparé sur l'illumination et la réflectance. En effet, la transformée de FOURIER de f correspondant à la convolution des transformées de FOURIER respectives de i et de r, un filtrage linéaire simple ne peut pas être réalisé.

Afin de contourner ce problème, considérons la fonction

z(x, y) = ln(f (x, y)) = ln(i(x, y)) + ln(r(x, y)) (8.21)

La fonction z(x, y) étant constituée d'une somme de deux fonctions, il est maintenant intéressant d'utiliser la propriété de linéarité de la transformée de FOURIER:

$$\mathcal {Z} \mathcal {F} \mathcal {F}$$ = (8.22)

$$\mathcal {I} \mathcal {R}$$ = (8.23)

où $\mathcal {I}$(u, v) et $\mathcal {R}$(u, v) sont respectivement les transformées de FOURIER de ln(i(x, y)) et ln(r(x, y)). Il est possible de filtrer la fonction $\mathcal {Z}$(u, v) en la multipliant par une fonction de transfert $\mathcal {H}$(u, v), ce qui donne

$$\mathcal {S} \mathcal {H} \mathcal {Z}$$ = (8.24)

$$\mathcal {H} \mathcal {I} \mathcal {H} \mathcal {R}$$ = (8.25)

Si nous introduisons les deux fonctions

$$\mathcal {F} \mathcal {H} \mathcal {I}$$ (8.26)

et

$$\mathcal {F} \mathcal {H} \mathcal {R}$$ (8.27)

le résultat du filtrage de z(x, y) sera noté s(x, y) et sera égal à

$$\mathcal {F} \mathcal {S}$$ s(x, y) = (8.28)

= i'(x, y) + r'(x, y) (8.29)

Vu que z(x, y) avait été obtenue en calculant le logarithme népérien de f (x, y), l'opération inverse va nous fournir l'image rehaussée g(x, y) suivante:

g(x, y) = e^{s(x, y)} (8.30)

= e^{i'(x, y)}e^{r'(x, y)} (8.31)

= i''(x, y)r''(x, y) (8.32)

moyennant les notations e^{i'(x, y)} = i''(x, y) et e^{r'(x, y)} = r''(x, y) qui sont respectivement l'illumination et la réflectance de l'image rehaussée.

La méthode de rehaussement décrite ici est représentée à la figure 8.5. Cette méthode est un cas particulier d'une classe de systèmes connus sous le nom de système homomorphique.

Figure 8.5: Schéma du filtrage homomorphique.

 

L'illumination d'une image est en général une fonction qui présente de faibles variations tandis que la réflectance est plutôt une fonction qui varie de manière abrupte, particulièrement à la jonction d'objets de caractéristiques différentes. Ces observations tendent à associer les basses fréquences à la luminance et les hautes fréquences à la réflectance. Bien que ces associations ne soient qu'approximatives, elles peuvent être utilisées pour rehausser l'image.

Les spécifications du filtre homomorphique $\mathcal {H}$(u, v) vont être établies de telle sorte qu'il affecte différemment les hautes et les basses fréquences. La figure 8.6 montre la coupe radiale d'un filtre homomorphique qui peut être utilisé. L'atténuation des basses fréquences va faire diminuer la dynamique de la luminosité tandis que l'amplification des hautes fréquences va augmenter le contraste.

Figure 8.6: Coupe radiale d'un filtre homomorphique.

 

Un exemple d'application de filtre homomorphique est montré à la figure 8.7.

Figure: Illustration du filtre homomorphique. (a) image à rehausser (b) image rehaussée par le filtre homomorphique dont la coupe radiale est montrée à la figure 8.8.

(a)	(b)

Figure 8.8: Exemple de coupe radiale d'un filtre homomorphique.