8.3.2 Déconvolution de WIENER

Ainsi que l'on vient de le voir, le filtrage de WIENER ne permet que de restaurer des images qui ont été dégradées par l'ajout d'un bruit aléatoire. Nous allons voir qu'il est possible de combiner le filtrage de WIENER avec un procédé de déconvolution.

Considérons le schéma de la figure 8.12. Comme pour le filtrage de WIENER, nous allons réaliser le raisonnement pour le cas à une dimension. La fonction idéale est ici dégradée par convolution avec un filtre dont la fonction de transfert est $\mathcal {K}$(f ) et par l'ajout d'un bruit n(t). La fonction dégradée est toujours notée w(t).

Figure 8.12: Schéma de déconvolution de WIENER.

 

Avant d'appliquer la technique du filtrage de WIENER, il est nécessaire de réaliser la déconvolution par un filtre dont la fonction de transfert est égal à l'inverse de la fonction de transfert $\mathcal {K}$(f ). Le filtre global de restauration est obtenu par combinaison du filtre de déconvolution et du filtre de WIENER. Vu que le filtre de déconvolution est connu, il reste simplement à déterminer la fonction de transfert $\mathcal {H}$_o(f ) du filtre de WIENER avant de combiner les deux filtres.

Calculons la transformée de FOURIER du signal dégradé

$$\mathcal {W} \mathcal {K} \mathcal {F} \mathcal {N}$$ (8.72)

ainsi que celle du signal y(t) après déconvolution

$$\mathcal {Y} \mathcal {F} {\frac{{\mathcal{N}(f)}}{{\mathcal{K}(f)}}}$$ = (8.73)

$$\mathcal {F} \mathcal {N}$$ = (8.74)

Tout se passe donc comme si y(t) était le résultat d'une dégradation de la fonction f (t) par un bruit aléatoire n'(t). La détermination du filtre de WIENER devient alors évidente:

$$\mathcal {H} {\frac{{\gamma _{f}(f)}}{{\gamma _{f}(f)+\gamma _{n'}(f)}}}$$ (8.75)

dans le cas de signaux non-corrélés. Finalement, la fonction de transfert du filtre global de restauration (ou de déconvolution de WIENER) est donné par

$$\mathcal {G} {\frac{{\mathcal{H}_{o}(f)}}{{\mathcal{K}(f)}}}$$ = (8.76)

$${\frac{{\mathcal{K}^{*}(f)\,\gamma _{f}(f)}}{{\left\Vert \mathcal... ...{2}\,\gamma _{f}(f)+\left\Vert \mathcal{K}(f)\right\Vert ^{2}\gamma _{n'}(f)}}}$$ = (8.77)

Si l'on se souvient à présent que le passage d'un processus aléatoire au travers d'un filtre revient à multiplier sa densité spectrale de puissance par le module de la fonction de transfert du filtre au carré, on peut finalement écrire

$$\mathcal {G} {\frac{{\mathcal{K}^{*}(f)\,\gamma _{f}(f)}}{{\left\Vert \mathcal{K}(f)\right\Vert ^{2}\,\gamma _{f}(f)+\gamma _{n}(f)}}}$$ (8.78)

Appliquer ce filtre dans le but de restaurer une image porte le nom de déconvolution de WIENER. Elle nécessite la connaissance des densités spectrales de puissance du signal original et du bruit ainsi que de la fonction de transfert $\mathcal {K}$(f ) du filtre ayant dégradé l'image.

8.3.2.1 Application aux cas des images

La déconvolution de WIENER peut aisément être adaptée aux cas des images à deux dimensions. Si l'on note $\gamma_{{f}}^{}$(u, v) la densité spectrale de puissance de l'image f (x, y), $\gamma_{{n}}^{}$(u, v) celle du bruit aléatoire additionnel et $\mathcal {K}$(u, v) la fonction de transfert du filtre ayant dégradé l'image originale, la déconvolution de WIENER se caractérise par le filtre de déconvolution suivant

$$\mathcal {G} {\frac{{\mathcal{H}^{\ast}(u,v)\gamma _{f}(u,v)}}{{\left\Vert \mathcal{H}(u,v)\right\Vert ^{2}\gamma _{f}(u,v)+\gamma _{n}(u,v)}}}$$ = (8.79)

$${\frac{{\mathcal{H}^{\ast}(u,v)}}{{\left\Vert \mathcal{H}(u,v)\right\Vert ^{2}+\frac{\gamma _{n}(u,v)}{\gamma _{f}(u,v)}}}}$$ = (8.80)

qui ne constitue qu'une généralisation de ce qui a été décrit à une dimension.