9.2.1 Mesures géométriques de base

Fondamentalement, les trois mesures de base caractérisant une forme sont le périmètre, la surface et le nombre d'EULER-POINCARRÉ. Par ailleurs, HADWIGER [9] a montré que toute mesure de la forme continue, additive et invariante par rotation et translation est nécessairement une combinaison linéaire de ces trois mesures de base.

9.2.1.1 Périmètre

Le périmètre d'une figure se calcule aisément à partir d'une description du contour par un codage en chaîne. En effet, il suffit de compter le nombre de points de ce codage en chaîne en considérant un facteur multiplicatif $\sqrt{{2}}$ pour les directions diagonales.

9.2.1.1.1 Périmètre d'un polygone

Soient N_p et N_i le nombre d'éléments respectivement pairs et impairs contenus dans le codage en chaîne en 8-connexité d'un contour C.

$$\sqrt{{2}}$$ (9.18)

9.2.1.2 Aire

L'aire ou surface d'un objet s'obtient simplement en comptant le nombre de pixels qui le composent. Parfois, on distingue l'aire d'un objet de celle calculée en remplissant les trous présents dans l'objet. D'un point de vue pratique, un balayage direct de l'image suffit au calcul de l'aire.

9.2.1.3 Caractéristique d'EULER-POINCARRÉ

Il existe une relation fondamentale entre le nombre de composantes connexes C et le nombre de trous T.

Définition 72   [Nombre d'EULER] On définit le nombre d'EULER E par

E = C - T (9.19)

Les figures 9.16 et 9.17 illustrent le calcul du nombre d'EULER.

Figure 9.16: Nombre d'EULER: E = 1 - 2 = - 1.

 

Figure 9.17: Deux lettres de nombre d'EULER différent.

9.2.1.3.1 Propriétés topologiques.

Une propriété topologique est une propriété préservée lors de l'étirement d'une forme. Ainsi, la distance métrique n'est clairement pas une propriété topologique, ainsi que tous les opérateurs qui en découlent.

Le nombre d'EULER est une propriété topologique car C et T sont des propriétés topologiques. Le nombre de connexité, c'est-à-dire le nombre de particules, est également une propriété topologique.