Table des matières of 10.3.2 Expression formelle d'un algorithme de segmentation par ligne de partage des eaux

10.3.2 Expression formelle d'un algorithme de segmentation par ligne de partage des eaux

Le cas des images binaires est introduit en premier lieu. Il sera plus aisé de généraliser ensuite le principe à des fonctions.

10.3.2.1 Analyse d'images binaires

Soit X une image binaire. Cette image contient une série de zones d'attraction centrées autour d'une famille de petits ensembles connexes Z_i. Le bassin associé au petit ensemble Z_i est le sous-ensemble de $\mathcal {E}$ dont la distance géodésique à Z_i est plus petite que celle à Z_j. Pour parler de distance géodésique, nous introduisons quelques définitions et notations:

Définition 81 [Chemin géodésique] Un chemin géodésique de longueur l entre deux points s et t est une famille de l + 1 pixels x₀ = s, x₁, ..., x_l = t telle que

$\displaystyle \forall$ i $\displaystyle \in$ [0, l], x_i $\displaystyle \in$ X et $\displaystyle \forall$ i $\displaystyle \in$ [0, l], x_i-1, x_i sont voisins

(10.2)

Parmi tous les chemins, le plus court détermine la distance géodésique. La figure 10.4 fournit un exemple de chemin géodésique.

**Figure 10.4:** Le plus court chemin géodésique entre x et y.

Définition 82 [Distance géodésique] La distance géodésique entre les points s et t est la longueur du plus court chemin géodésique reliant s à t; elle est infinie si un tel chemin n'existe pas.

Notations

La zone d'influence de l'ensemble Z_i est notée ZI(domaine =X, centre = Z_i) et sa frontière FR(domaine =X, centre = Z_i).

10.3.2.1.1 Algorithme de construction du squelette par zone d'influence.

Le squelette par zone d'influence (SZI) s'obtient aisément par l'algorithme suivant:

dans un premier temps, on délimite les zones Z_i des régions de base;
pour les autres pixels, il suffit d'itérer la démarche suivante jusqu'à stabilisation du processus: si un pixel a un voisin indicé i, alors ce pixel prend le même indice; les points qui n'ont pas de voisin ou ceux qui en ont deux sont laissés inchangés;
au terme de ce processus, les pixels sont attribués à l'une ou l'autre zone de départ Z_i.

Cet algorithme simple revient à faire croître des régions jusqu'à ce qu'elles se touchent; de la sorte, les contours obtenus sont fermés. La figure 10.5 montre un exemple de squelette géodésique.

**Figure 10.5:** Squelette géodésique.

10.3.2.2 Images en niveaux de gris

Supposons que le relief soit progressivement immergé, l'incrément étant d'une unité de luminance par étape. C'est la clef de synthèse d'un algorithme de détermination de ligne de séparation. Le dessin de la figure 10.6 montre une étape intermédiaire du processus d'immersion.

**Figure 10.6:** Construction d'un barrage au raccord de deux bassins versants.

10.3.2.2.1 Notations:

f est la fonction étudiée.
h_min et h_max sont les valeurs extrêmes de f sur son domaine de définition.
T_h(f )= {x $\in$ dom f : f (x) $\leq$ h} est l'ensemble constitué par un seuil h.
M_i sont les minima et $\mathcal {C}$ (M_i) les bassins correspondants.

Les bassins seront construits étape par étape suite à une augmentation progressive du niveau de l'eau. Soit $\mathcal {C}$ _h(M_i) la partie du bassin M_i rempli au temps algorithmique h. Alors

$\displaystyle \mathcal {C}$ _h(M_i) = $\displaystyle \mathcal {C}$ (M_i) $\displaystyle \cap$ T_h(f )

(10.3)

Dans cette expression, $\mathcal {C}$ (M_i) est l'inconnue. Si l'altitude du minimum M_i est j, alors $\mathcal {C}$ _j(M_i) = M_i et $\mathcal {C}$ _k(M_i) = $\phi$ pour k < j. L'union de tous les bassins est notée $\mathcal {C}$ (M) et sa partie immergée au temps h est $\mathcal {C}$ _h(M). Dans ces conditions, $\mathcal {C}$ _{h max}(M) = $\mathcal {C}$ (M). Il reste à initialiser l'algorithme et à donner un schéma de construction. Attention, il n'est pas question ici de supprimer des faux bassins.

10.3.2.2.2 Initialisation

$\mathcal {C}$ _{h min}(M) = T_{h min}(f ); l'initialisation considère que tous les points minima sont des réservoirs potentiels.

10.3.2.2.3 Construction

$\displaystyle \forall$ h $\displaystyle \in$ [h_min +1, h_max] : $\displaystyle \mathcal {C}$ _h(M) = ZI_h $\displaystyle \cup$ Min_h

(10.4)

avec

ZI_h = zone d'influence (de domaine T_h(f )) composée des centres contenus dans $\mathcal {C}$ _h-1(M) -c'est durant cette étape que seront déterminés les barrages traduits en contours;
Min_h est l'ensemble des points de T_h(f ) qui, après le processus de recherche de zones d'influence n'ont toujours pas de voisin. Il s'agit de nouveaux minima, centres de nouvelles zones d'influence.

Cet algorithme peut subir quelques modifications destinées à supprimer les faux contours; des développements de ce type sont abondamment décrits par MEYER (le véritable initiateur de ces techniques) et BEUCHER [21]. MEYER a également développé une recherche de lignes de séparation entre bassins par analogie avec l'opération de squelettisation légèrement modifiée; de telles considérations nous mèneraient malheureusement trop loin. Remarquons simplement que l'algorithme développé est relativement complexe et que, dès lors, il n'est guère étonnant que certains auteurs (cf. [34] par exemple) aient développé des expressions plus agréables.

10.3.2.3 Marquage

Le remède communément adopté pour combattre la sur-segmentation est le marquage. Dans le cas présent, le marquage consiste à sélectionner certains minima seulement. On part de la constatation que le nombre de régions est généralement proportionnel au nombre de minima. Le fait de ne sélectionner qu'une partie des minima entraîne la disparition de certaines régions. En effet, lors du processus d'inondation, ces régions sont remplies par l'eau provenant d'un bassin voisin en passant par le point de crête ayant la plus faible altitude. Les bassins inondés sont alors englobés dans un bassin voisin.

Les avantages de la ligne de partage des eaux par rapport à d'autres techniques de segmentation se résument en définitive à

la possibilité de travailler sur base d'une image de gradient quelconque,
la possibilité d'effectuer une pré-sélection par un marquage adéquat.