11.3.1 Notations et définitions

Comme illustré à la figure 11.6, nous décrivons les droites dans le plan $\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ à l'aide de deux coordonnées: s $\in$ $\left]\vphantom{-\infty,+\infty}\right.$ - $\infty$, + $\infty$$\left.\vphantom{-\infty,+\infty}\right[$ et $\theta$ $\in$ $\left[\vphantom{0,2\pi}\right.$0, 2$\pi$$\left.\vphantom{0,2\pi}\right[$. La droite définie par s et $\theta$ est notée L$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$ tandis que la mesure le long de la droite L$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$ est notée g$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$. Notons que $\theta$ et s ne sont pas des coordonnées polaires: lorsque $\theta_{{1}}^{}$ et $\theta_{{2}}^{}$ sont tels que $\theta_{{2}}^{}$ $\neq$ $\theta_{{1}}^{}$ + k $\pi$, on a L$\left(\vphantom{\theta_{1},s=0}\right.$$\theta_{{1}}^{}$, s = 0$\left.\vphantom{\theta_{1},s=0}\right)$ $\neq$ L$\left(\vphantom{\theta_{2},s=0}\right.$$\theta_{{2}}^{}$, s = 0$\left.\vphantom{\theta_{2},s=0}\right)$. Notons aussi que L$\left(\vphantom{\theta+\pi,-s}\right.$$\theta$ + $\pi$, - s$\left.\vphantom{\theta+\pi,-s}\right)$ $\equiv$ L$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$ et donc g$\left(\vphantom{\theta+\pi,-s}\right.$$\theta$ + $\pi$, - s$\left.\vphantom{\theta+\pi,-s}\right)$ = g$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$.

Figure 11.6: Représentation de droites dans l'espace (x, y).

 

Mathématiquement parlant, on dit que g$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$ est un échantillon de la transformée de RADON de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$. (La transformée de RADON de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ est la fonction qui associe à chaque droite du plan $\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$, l'intégrale de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ sur cette droite.) On note cette transformée sous la forme

$$\left(\vphantom{\theta,s}\right. \theta \left.\vphantom{\theta,s}\right) \left(\vphantom{\mathcal{R}f}\right. \mathcal {R} \left.\vphantom{\mathcal{R}f}\right) \left(\vphantom{\theta,s}\right. \theta \left.\vphantom{\theta,s}\right) \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \vec{{\theta}}\, \vec{{\theta}}^{{\perp}}_{}$$ (11.2)

avec $\vec{{\theta}}\,$ = $\left(\vphantom{\cos\theta,\sin\theta}\right.$cos$\theta$, sin$\theta$$\left.\vphantom{\cos\theta,\sin\theta}\right)$, $\vec{{\theta}}^{{\perp}}_{}$ = $\left(\vphantom{-\sin\theta,\cos\theta}\right.$ -sin$\theta$, cos$\theta$$\left.\vphantom{-\sin\theta,\cos\theta}\right)$ et f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ $\equiv$ f$\left(\vphantom{\vec{x}}\right.$$\vec{{x}}\,$$\left.\vphantom{\vec{x}}\right)$ pour $\vec{{x}}\,$ = $\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$.

En pratique, l'ensemble des mesures g$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$ obtenues pour une valeur fixée de $\theta$ avec s $\in$ $\left]\vphantom{-\infty,+\infty}\right.$ - $\infty$, + $\infty$$\left.\vphantom{-\infty,+\infty}\right[$ est appelé projection de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$, tandis que l'ensemble des mesures g$\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$ obtenues pour s $\in$ $\left]\vphantom{-\infty,+\infty}\right.$ - $\infty$, + $\infty$$\left.\vphantom{-\infty,+\infty}\right[$ et $\theta$ $\in$ $\left[\vphantom{0,2\pi}\right.$0, 2$\pi$$\left.\vphantom{0,2\pi}\right[$ est appelé sinogramme. On parle de sinogramme parce que les données associées au point objet f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ = $\delta$$\left(\vphantom{x-x_{0}}\right.$x - x₀$\left.\vphantom{x-x_{0}}\right)$ $\delta$$\left(\vphantom{y-y_{0}}\right.$y - y₀$\left.\vphantom{y-y_{0}}\right)$ sont uniquement non-nulles le long de la sinusoïde s = x₀cos$\theta$ + y₀sin$\theta$ dans le domaine $\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$. L'ensemble des mesures obtenues pour une fonction quelconque f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ peut donc s'exprimer comme une somme de sinusoïdes en coordonnées $\left(\vphantom{\theta,s}\right.$$\theta$, s$\left.\vphantom{\theta,s}\right)$. Les figures 11.7, 11.8 et 11.9 illustrent les sinogrammes que l'on peut obtenir pour un point objet, trois points objet, puis le fantôme de SHEPP et LOGAN qui est largement utilisé en pratique pour tester la stabilité numérique des algorithmes de reconstruction.

Figure 11.7: Sinogramme pour un point objet.

 

Figure 11.8: Sinogramme pour 3 points objet.

 

Figure 11.9: Sinogramme du fantôme de SHEPP-LOGAN.

 

Il existe trois méthodes analytiques pour reconstruire f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ à partir de ses intégrales de lignes: (i) la méthode directe de FOURIER, (ii) la méthode du filtrage de la rétroprojection, et (iii) la méthode de rétroprojection des projections filtrées. D'un point de vue pratique, la plus intéressante des méthodes est la troisième car elle est numériquement plus stable. Toutefois, les trois méthodes seront étudiées ci-après, vu que chaque approche permet de mieux comprendre la suivante.