Propriétés

• $\underline{{M}}$ est symétrique si $\underline{{M}}$ = $\underline{{M}}^{{T}}_{}$
• $\underline{{M}}$ est orthogonale si $\underline{{M}}^{{T}}_{}$$\underline{{M}}$ = $\underline{{I}}$ où $\underline{{I}}$ est la matrice identité.
• Si $\underline{{M}}$ est symétrique, réelle et orthogonale, alors $\underline{{M}}^{{-1}}_{}$ = $\underline{{M}}$
• Une matrice complexe $\underline{{C}}$ est hermitienne si $\underline{{C}}^{{*T}}_{}$ = $\underline{{C}}$, où $\underline{{C}}^{{*}}_{}$est la matrice complexe conjuguée de $\underline{{C}}$.
• Une matrice complexe $\underline{{C}}$ est unitaire si $\underline{{C}}^{{*T}}_{}$$\underline{{C}}$ = $\underline{{I}}$
• Si $\underline{{C}}$ est une matrice complexe, carrée, hermitienne et unitaire, alors $\underline{{C}}^{{-1}}_{}$ = $\underline{{C}}$

Revenons à présent aux matrices de transformation $\underline{{P}}$ et $\underline{{Q}}$. Si $\underline{{P}}$ et $\underline{{Q}}$ sont symétriques, réelles et orthogonales, alors

$$\underline{{F}} \underline{{P}} \underline{{f}} \underline{{Q}} \underline{{f}} \underline{{P}} \underline{{F}} \underline{{Q}}$$ (2.6)

On parle alors de transformations orthogonales ou unitaires. Les transformations unitaires ont la propriété intéressante d'utiliser le même algorithme pour la transformation inverse que pour la transformation directe. Si les matrices $\underline{{P}}$ et $\underline{{Q}}$ sont complexes, la relation 2.6 tient toujours à condition que $\underline{{P}}$ et $\underline{{Q}}$ soient hermitiennes et unitaires.