Table des matières of 2.3 La transformée de FOURIER discrète

Tout comme les séries de Fourier fournissent le point de départ pour les transformations et l'analyse de fonctions périodiques, la transformée de FOURIER discrète (Discrete FOURIER Transform ou DFT) est l'équivalent pour l'analyse de vecteurs. Elle effectue un passage du domaine spatial à un domaine spectral.

Un vecteur à N composantes est calculé comme une combinaison linéaire de N vecteurs de base. Les éléments de ces vecteurs de base sont tous des puissances de l'exponentielle imaginaire

$\displaystyle \left(\vphantom{1,\,\overrightarrow{W}^{k},\,\overrightarrow{W}^{2k},\,\ldots,\,\overrightarrow{W}^{(N-1)k}}\right.$ 1, $\displaystyle \overrightarrow{W}^{{k}}_{}$ , $\displaystyle \overrightarrow{W}^{{2k}}_{}$ , ..., $\displaystyle \overrightarrow{W}^{{(N-1)k}}_{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1,\,\overrightarrow{W}^{k},\,\overrightarrow{W}^{2k},\,\ldots,\,\overrightarrow{W}^{(N-1)k}}\right)$ , k = 0, 1, ... N - 1

(2.8)

$\displaystyle \underline{{\Phi}}_{{JJ}}^{}$ $\displaystyle \left(\vphantom{k,l}\right.$ k, l $\displaystyle \left.\vphantom{k,l}\right)$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{J}}}$ exp $\displaystyle \left(\vphantom{-j\frac{2\pi}{J}kl}\right.$ - j $\displaystyle {\frac{{2\pi}}{{J}}}$ kl $\displaystyle \left.\vphantom{-j\frac{2\pi}{J}kl}\right)$ k, l = 0, 1, ..., J - 1

(2.9)

Définition 4 La transformée de FOURIER discrète est définie, étant données les deux matrices de transformation $\underline{{P}}$ = $\underline{{\Phi}}_{{MM}}^{}$ et $\underline{{Q}}$ = $\underline{{\Phi}}_{{NN}}^{}$ , par

$\displaystyle \underline{{F}}$ = $\displaystyle \underline{{\Phi}}_{{MM}}^{}$ $\displaystyle \underline{{f}}$ $\displaystyle \underline{{\Phi}}_{{NN}}^{}$

(2.10)

ce qui peut également se mettre sous la forme

$\displaystyle \underline{{F}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{MN}}}$ $\displaystyle \sum_{{m=0}}^{{M-1}}$ $\displaystyle \sum_{{n=0}}^{{N-1}}$ $\displaystyle \underline{{f}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{m,n}\right.$ m, n $\displaystyle \left.\vphantom{m,n}\right)$ exp $\displaystyle \left[\vphantom{-2\pi j\left(\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}\right)}\right.$ -2 $\displaystyle \pi$ j $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}}\right.$ $\displaystyle {\frac{{mu}}{{M}}}$ + $\displaystyle {\frac{{nv}}{{N}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{-2\pi j\left(\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}\right)}\right]$

(2.11)

avec

u = 0, 1, ..., M - 1 v = 0, 1, ..., N - 1

(2.12)

$\displaystyle \underline{{f}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{m,n}\right.$ m, n $\displaystyle \left.\vphantom{m,n}\right)$ = $\displaystyle \sum_{{m=0}}^{{M-1}}$ $\displaystyle \sum_{{n=0}}^{{N-1}}$ $\displaystyle \underline{{F}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ exp $\displaystyle \left[\vphantom{2\pi j\left(\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}\right)}\right.$ 2 $\displaystyle \pi$ j $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}}\right.$ $\displaystyle {\frac{{mu}}{{M}}}$ + $\displaystyle {\frac{{nv}}{{N}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{2\pi j\left(\frac{mu}{M}+\frac{nv}{N}\right)}\right]$

(2.14)