2.8 Reconstruction

Dans ce qui suit, nous ferons l'hypothèse simplificatrice que l'image f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ est à bande limitée et que les conditions d'échantillonnage de SHANNON sont respectées, cela pour séparer les problèmes dus au recouvrement des problèmes de reconstruction à partir de la fonction échantillonnée.

Le but ici est de reconstruire, à partir de la fonction échantillonnée f_s$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$, une fonction f_r$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ qui se rapproche le plus possible de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$. Idéalement, on devrait avoir f_r$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ = f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$.

Étant données les hypothèses qui ont été introduites, les répliques du spectre de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ dans celui de la fonction échantillonnée ne se recouvrent pas et il est possible de reconstruire la fonction f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ exactement en choisissant judicieusement un filtre de reconstruction. Celui-ci sera simplement un filtre passe-bas permettant de conserver la réplique du spectre de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ centrée à l'origine. En toute généralité, la réponse impulsionnelle du filtre de reconstruction, également appelé fonction d'interpolation, sera noté r$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$. La fonction reconstruite est alors obtenue par

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \otimes \left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right)$$ = (2.94)

$$\sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right) \left(\vphantom{x-i\Delta x,y-j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{x-i\Delta x,y-j\Delta y}\right)$$ = (2.95)