Table des matières of 2.8.2 Filtre passe-bas à fenêtre circulaire

2.8.2.1 Conditions de reconstruction

2.8.2 Filtre passe-bas à fenêtre circulaire

Contrairement au cas unidimensionnel, le traitement d'image offre plus de liberté quant au choix du filtre passe-bas idéal. Il est ainsi possible de choisir une fenêtre circulaire comme le montre la figure 2.11.

**Figure 2.11:** Filtre passe-bas à fenêtre circulaire.

Il est clair que, pour que la reconstruction soit exacte, la fenêtre circulaire doit contenir entièrement la réplique du spectre de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ située à l'origine et elle ne peut intersecter les autres répliques du spectre. Ce filtre est alors défini par la fonction de transfert suivante

$\displaystyle \mathcal {R}$ $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = $\displaystyle \Delta$ x $\displaystyle \Delta$ yDisque_W $\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$ u, v $\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$

(2.100)

La réponse impulsionnelle correspondante est donnée par

r $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = W $\displaystyle \Delta$ x $\displaystyle \Delta$ y $\displaystyle {\frac{{J_{1}\left(2\pi W\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$

(2.101)

La formule de reconstruction ou d'interpolation est finalement

f_r $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$	=	f $\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$	(2.102)
	=	W $\displaystyle \Delta$ x $\displaystyle \Delta$ y $\displaystyle \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}}$ f $\displaystyle \left(\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right.$ i $\displaystyle \Delta$ x, j $\displaystyle \Delta$ y $\displaystyle \left.\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right)$ $\displaystyle {\frac{{J_{1}\left(2\pi W\sqrt{\left(x-i\Delta x\right)^{2}+\left... ...}\right)}}{{\sqrt{\left(x-i\Delta x\right)^{2}+\left(y-j\Delta y\right)^{2}}}}}$

Cette dernière formule constitue une formule d'interpolation faisant intervenir des fonctions de BESSEL du premier ordre.

2.8.2.1 Conditions de reconstruction

Les fenêtres rectangulaire et circulaire ne sont pas les seules à pouvoir être utilisées. Pour obtenir une reconstruction exacte de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ , la fenêtre fréquentielle de filtrage doit vérifier les conditions suivantes:

elle doit être symétrique par rapport à l'origine afin d'assurer que l'image reconstruite soit réelle;
elle doit contenir entièrement la réplique du spectre de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ située à l'origine; et
elle ne peut intersecter les autres répliques du spectre de f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ .

À nouveau, il est bon de rappeler que tout ceci n'est valable que si la fonction f $\left(\vphantom{x,y}\right.$ x, y $\left.\vphantom{x,y}\right)$ est à bande limitée et que les conditions d'échantillonnage sont vérifiées. Dans le cas contraire, l'image reconstruite présentera ce qu'on appelle du repli de spectre ou aliasing.