2.8.3 Autres filtres de reconstruction et d'interpolation

Dans les deux sections précédentes, les filtres ont été définis dans le domaine fréquentiel de l'image. Il est également possible de travailler directement dans le domaine spatial, c'est-à-dire d'établir le filtre de reconstruction r$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ et de voir son effet dans le domaine fréquentiel grâce à sa transformée de FOURIER $\mathcal {R}$$\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$.

Considérons l'exemple suivant. Supposons que la fonction f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ ait été échantillonnée avec des pas $\Delta$x et $\Delta$y constants. Soit f_r$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ l'image reconstruite définie par

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \left(\vphantom{i\Delta x,\, j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{i\Delta x,\, j\Delta y}\right)$$ (2.103)

où i et j sont tels que

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{c} i\Delta x-\frac{\Delta x}{2}\l... ...elta y-\frac{\Delta y}{2}\leq y<j\Delta y+\frac{\Delta y}{2}\end{array}}\right. \begin{array}{c} i\Delta x-\frac{\Delta x}{2}\leq x<i\Delta x+\fr... ... \\ j\Delta y-\frac{\Delta y}{2}\leq y<j\Delta y+\frac{\Delta y}{2}\end{array}$$ (2.104)

Cette reconstruction correspond à l'interpolation du plus proche voisin car la valeur de f_r en $\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ correspond au plus proche échantillon connu. L'image reconstruite peut donc être vue comme une image en escaliers. Elle peut également s'écrire

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \sum_{{i=-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{j=-\infty}}^{{+\infty}} \left(\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{i\Delta x,j\Delta y}\right) \Delta \Delta \left(\vphantom{x-i\Delta x,y-j\Delta y}\right. \Delta \Delta \left.\vphantom{x-i\Delta x,y-j\Delta y}\right)$$ (2.105)

De cette expression, nous pouvons extraire la fonction d'interpolation (ou filtre de reconstruction) utilisée

$$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) \Delta \Delta \left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right)$$ (2.106)

Il est alors intéressant de regarder l'effet du filtre de reconstruction sur l'image échantillonnée. Pour cela, observons la fonction de transfert du filtre

$$\mathcal {R} \left(\vphantom{u,v}\right. \left.\vphantom{u,v}\right) \Delta \Delta {\frac{{\sin\left(\pi\Delta x\, u\right)}}{{\pi\Delta x\, u}}} {\frac{{\sin\left(\pi\Delta y\, v\right)}}{{\pi\Delta y\, v}}}$$ (2.107)

Deux remarques importantes peuvent être faites à propos de ce filtre de reconstruction:

1. dans le plan fréquentiel $\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$, la fenêtre de filtrage $\mathcal {R}$$\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$ n'est pas constante sur tout le rectangle de dimension ${\frac{{1}}{{\Delta x}}}$×${\frac{{1}}{{\Delta y}}}$ centré à l'origine, c'est-à-dire la région contenant la réplique du spectre de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ centrée à l'origine. Dans ce rectangle, les composantes fréquentielles $\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$ de l'image sont d'autant plus atténuées que le couple $\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$ est éloigné de l'origine.
2. la fenêtre fréquentielle n'est pas nulle en dehors de la région d'intérêt rectangulaire de dimension ${\frac{{1}}{{\Delta x}}}$×${\frac{{1}}{{\Delta y}}}$ centrée à l'origine. L'image reconstruite tient non seulement compte de la réplique du spectre de f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ située à l'origine mais en plus d'autres répliques qui vont introduire du repli de spectre dans l'image reconstruite.

En toute généralité, l'utilisation de filtres de reconstruction non idéaux (comme par exemple l'interpolation du plus proche voisin) introduit les problèmes suivants:

• modification du contenu fréquentiel intrinsèque de l'image,
• introduction de hautes fréquences parasites dans l'image reconstruite.

Il existe évidemment d'autres filtres de reconstruction comme par exemple l'interpolation linéaire par morceaux (figure 2.12.a) ou l'interpolation bilinéaire (figure 2.12.b).

Figure 2.12: Exemples d'interpolateurs: (a) interpolation linéaire par morceaux, (b) interpolation bilinéaire.

 

Insistons une fois encore sur la fait que l'utilisation d'un filtre de reconstruction idéal ne fournira pas nécessairement une reconstruction parfaite. Il faut pour cela que l'image f$\left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{x,y}\right)$ soit à bande limitée (ce qui extrêmement rare en pratique) et échantillonnée correctement (en concordance avec le théorème de SHANNON).