3.1.1 Catégories de filtres idéaux

Dans le cas d'un signal unidimensionnel, on distingue habituellement trois catégories de filtres idéaux en fonction de la position de leur gabarit le long de l'axe des fréquences (cf. figure 3.1).

Figure 3.1: Filtres idéaux unidimensionnels.

 

L'extension à des signaux bidimensionnels est simple si l'on utilise des filtres à symétrie circulaire. Les trois types de filtres idéaux à symétrie circulaire sont:

• les filtres passe-bas, pour lesquels seuls les coefficients de la transmittance à proximité de l'origine sont non nuls. Un filtre passe-bas est un système linéaire ne modifiant pas ou peu les basses fréquences de l'image d'entrée. Par basses fréquences, on entend les couples $\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$ du plan de fréquence u - v situé dans un voisinage de l'origine, la taille de ce voisinage caractérisant la bande passante du filtre. Les hautes fréquences de l'image, en l'occurrence celles situées en dehors du voisinage de l'origine sont atténuées, voir même annulées. Physiquement, le filtre passe-bas a pour effet d'atténuer les variations rapides d'intensité de l'image pouvant aller jusqu'à faire apparaître une certaine impression de flou dans l'image filtrée.
  La figure 3.2 montre une image de taille 256×256 et l'image filtrée au moyen d'un filtre à symétrie circulaire ayant une fréquence de coupure f_c = 30 pixels. Ce filtre a un effet moyenneur sur le niveau de luminance. En raison de la suppression des composantes à haute fréquence, les transitions se retrouvent adoucies.

  Figure 3.2: Filtrage passe-bas d'une image.

  (a) Image originale	(b) Image filtrée

  
  Le filtre passe-bas idéal circulaire est défini par une fonction de transfert de la forme

  $$\mathcal {H} \left(\vphantom{u,v}\right. \left.\vphantom{u,v}\right) \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}\leq R_{0}\\ 0 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}>R_{0}\end{array}}\right. \begin{array}{ccc} 1 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}\leq R_{0}\\ 0 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}>R_{0}\end{array}$$ (3.3)

  
  
  Les composantes fréquentielles de l'image correspondant aux couples $\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$ situés à l'intérieur du disque de rayon R₀, dites basses fréquences, ne subissent aucune modification tandis que les autres composantes fréquentielles, dites hautes fréquences, sont complètement supprimées. La réponse impulsionnelle du filtre est obtenue par transformée de FOURIER inverse de la fonction de transfert; elle fait intervenir une fonction de BESSEL et vaut

  $$\left(\vphantom{x,y}\right. \left.\vphantom{x,y}\right) {\frac{{J_{1}\left(2\pi R_{0}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$$ (3.4)

  
  
  Ce filtre est dit idéal car il y a suppression totale des composantes fréquentielles ayant une fréquence radiale $\sqrt{{u^{2}+v^{2}}}$ supérieure à R₀.
• les filtres passe-haut. Ces filtres sélectionnent un contenu en hautes fréquences. Un filtre passe-haut linéaire est un système linéaire ne modifiant pas ou peu les hautes fréquences de l'image d'entrée. Les basses fréquences sont, quant à elles, atténuées, voire même complètement annulées. Visuellement, un filtre passe-haut a pour effet de supprimer la composante continue de l'image et de ne garder que les variations rapides d'intensité dans l'image filtrée.
  Le filtre passe-haut idéal est défini par la fonction de transfert suivante

  $$\mathcal {H} \left(\vphantom{u,v}\right. \left.\vphantom{u,v}\right) \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}\geq R_{0}\\ 0 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}<R_{0}\end{array}}\right. \begin{array}{ccc} 1 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}\geq R_{0}\\ 0 & & \sqrt{u^{2}+v^{2}}<R_{0}\end{array}$$ (3.5)

  
  
  Les basses fréquences dont la fréquence radiale $\sqrt{{u^{2}+v^{2}}}$ est inférieure à R₀ sont complètement rejetées tandis que les hautes fréquences restent inchangées.
• les filtres passe-bande. Ils sont équivalents au complémentaire d'un filtre passe-bas et d'un filtre passe-haut. Un filtre passe-bande est un système linéaire qui atténue ou supprime les basses et les hautes fréquences. Seule une plage de fréquences n'est pas ou peu atténuée par le passage au travers de ce filtre.
  Le filtre passe-bande idéal est défini par la fonction de transfert suivante

  $$\mathcal {H} \left(\vphantom{u,v}\right. \left.\vphantom{u,v}\right) \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & & R_{0}\leq\sqrt{u^{2}+v^{2}}\leq R_{1}\\ 0 & & \textrm{sinon}\end{array}}\right. \begin{array}{ccc} 1 & & R_{0}\leq\sqrt{u^{2}+v^{2}}\leq R_{1}\\ 0 & & \textrm{sinon}\end{array}$$ (3.6)

  
  
  Seules les composantes fréquentielles dont la fréquence radiale est comprise entre R₀ et R₁ sont conservées. Toutes les autres composantes fréquentielles sont rejetées. La fonction de transfert du filtre passe-bande idéal est représentée à la figure 3.3.

Figure 3.3: Fonction de transfert du filtre passe-bande idéal.

 

La figure 3.4 compare les effets d'un filtrage passe-bas, d'un filtrage passe-bande et d'un filtrage passe-haut ^3.2. En vertu de la linéarité de la transformée de FOURIER, l'addition des 3 spectres reconstitue le signal original. L'observation des images filtrées montre clairement des effets de filtrage complémentaires.

Figure 3.4: Images filtrées au moyen de filtres idéaux circulaires et spectres correspondants.

Application d'un passe-bas circulaire de fréquence de coupure fc = 30 pixels.
Application d'un passe-bande circulaire conservant les fréquences [30, 50] pixels.
Application d'un passe-haut circulaire de fréquence de coupure fc = 50 pixels.

En pratique, on préfère souvent recourir à des filtres à support rectangulaire. Un tel choix se justifie par une plus grande facilité de réalisation car, en présupposant la séparabilité de l'image, le filtrage s'effectuera par mise en cascade d'un filtrage horizontal et d'un filtrage vertical. En contrepartie, on court le risque de ne pas traiter au mieux les motifs à orientation diagonale. Cela ne prête pas souvent à conséquence puisqu'une majorité d'images concentrent leur énergie suivant les axes principaux en raison de la présence massive d'objets à arrêtes horizontales ou verticales.

Notes

...^3.2

Pour la visualisation des spectres, nous avons adopté la convention de vidéo inverse; elle consiste simplement à inverser l'échelle de luminance.