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3.2.5 Filtres de GABOR

3.2.5.1 Définition

Les filtres de GABOR ou filtres gaussiens constituent une classe particulière des filtres linéaires; ce sont des filtres orientés. Ces filtres ont une réponse impulsionnelle de la forme:

h(x, y) = g(x', y')e2$\scriptstyle \pi$j(Ux+Vy) (3.13)

où

La réponse impulsionnelle h(x, y) est donc une fonction complexe sinusoïdale modulée par une gaussienne bidimensionnelle de rapport d'axes $ \lambda$, de facteur de dilatation $ \sigma$ et où $ \phi$ est l'orientation de l'axe x' par rapport à l'axe x.

La transformée de FOURIER correspondante est:

$\displaystyle \mathcal {H}$(u, v) = e-2$\scriptstyle \pi^{{2}}$$\scriptstyle \sigma^{{2}}$[(u'-U')2$\scriptstyle \lambda^{{2}}$+(v'-V')2] (3.14)

où

La trace d'un filtre de Gabor orienté à 45o est illustrée à la figure 3.10.

Figure: Trace d'un filtre de GABOR dans le plan spectral. Le cercle blanc représente la bande passante à 3 [dB].
4049  

$ \mathcal {H}$(u, v) est une gaussienne passe-bande de rapport d'axes 1/$ \lambda$, tournée d'un angle $ \phi$, centrée en F = $ \sqrt{{U^{2}+V^{2}}}$ et d'orientation $ \theta$ = tan-1(V/U). On prend habituellement $ \theta$ = $ \phi$.

Présentés ainsi, les filtres de GABOR jouissent de quatre degrés de liberté qui permettent d'extraire une partie de l'information spectrale de l'image. Il s'agit du rapport d'axes $ \lambda$, du facteur d'excentricité $ \sigma$ des gaussiennes dans les deux plans, et de la translation imposée par (U, V) ou (F,$ \phi$) dans le domaine des fréquences.

Les filtres de GABOR sont une classe particulière des filtres linéaires, ce sont des filtres orientés. Ils permettent de mettre en évidence des textures ainsi que des zones homogènes d'une image. Grâce à la forme gaussienne des filtres, les enveloppes des images filtrées apportent une information spectrale locale en chaque pixel. De plus, elles renseignent sur le contenu énergétique de l'image dans la direction du filtre choisi.

Figure 3.11: Une image originale et l'image filtré avec un filtre orienté à 135o.
4068  
4071  

3.2.5.2 Incertitude

L'usage des filtres gaussiens se justifie par le fait qu'ils minimisent un certain type d'incertitude. Considérons une fonction f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$ et sa transformée de FOURIER $ \mathcal {F}$$ \left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$ \left.\vphantom{u,v}\right)$. Selon la propriété d'homothétie de la transformée de FOURIER, nous avons

f$\displaystyle \left(\vphantom{ax,by}\right.$ax, by$\displaystyle \left.\vphantom{ax,by}\right)$ $\displaystyle \rightleftharpoons$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{\left\vert ab\right\vert}}}$$\displaystyle \mathcal {F}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{u}{a},\frac{v}{b}}\right.$$\displaystyle {\frac{{u}}{{a}}}$,$\displaystyle {\frac{{v}}{{b}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{u}{a},\frac{v}{b}}\right)$ (3.15)

Plus une fonction est localisée dans le domaine spatial, moins elle l'est dans le domaine fréquentiel, et vice-versa. Cette propriété est similaire au principe d'incertitude d'HEISENBERG.

On peut définir les extensions effectives d'une fonction f$ \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$ \left.\vphantom{x,y}\right)$, centrée en $ \left(\vphantom{x_{0},y_{0}}\right.$x0, y0$ \left.\vphantom{x_{0},y_{0}}\right)$ et dont la transformée de FOURIER est centrée en $ \left(\vphantom{u_{0},v_{0}}\right.$u0, v0$ \left.\vphantom{u_{0},v_{0}}\right)$, dans le domaine spatial $ \Delta$x et $ \Delta$y, et fréquentiel $ \Delta$u et $ \Delta$v respectivement, en considérant la racine carrée de la variance de la distribution d'énergie de cette fonction. Les variances valent

$\displaystyle \left(\vphantom{\Delta x}\right.$$\displaystyle \Delta$x$\displaystyle \left.\vphantom{\Delta x}\right)^{{2}}_{}$ = $\displaystyle {\frac{{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(x-x... ...fty}\int_{-\infty}^{+\infty}\left\Vert f\left(x,y\right)\right\Vert ^{2}dxdy}}}$ (3.16)

$\displaystyle \left(\vphantom{\Delta y}\right.$$\displaystyle \Delta$y$\displaystyle \left.\vphantom{\Delta y}\right)^{{2}}_{}$ = $\displaystyle {\frac{{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(y-y... ...fty}\int_{-\infty}^{+\infty}\left\Vert f\left(x,y\right)\right\Vert ^{2}dxdy}}}$ (3.17)

$\displaystyle \left(\vphantom{\Delta u}\right.$$\displaystyle \Delta$u$\displaystyle \left.\vphantom{\Delta u}\right)^{{2}}_{}$ = $\displaystyle {\frac{{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(u-u... ...-\infty}^{+\infty}\left\Vert \mathcal{F}\left(u,v\right)\right\Vert ^{2}dudv}}}$ (3.18)

$\displaystyle \left(\vphantom{\Delta v}\right.$$\displaystyle \Delta$v$\displaystyle \left.\vphantom{\Delta v}\right)^{{2}}_{}$ = $\displaystyle {\frac{{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(v-v... ...-\infty}^{+\infty}\left\Vert \mathcal{F}\left(u,v\right)\right\Vert ^{2}dudv}}}$ (3.19)

Le principe d'incertitude montre que (cf. DAUGMAN [3])

$\displaystyle \Delta$x$\displaystyle \Delta$y$\displaystyle \Delta$u$\displaystyle \Delta$v $\displaystyle \geq$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{16\pi^{2}}}}$ (3.20)

On peut montrer que ce produit d'incertitude est minimisé par les fonctions de GABOR qui sont des fonctions gaussiennes modulées

f$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$ = e-$\scriptstyle \pi$$\scriptstyle \left[\vphantom{a^{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+b^{2}\left(y-y_{0}\right)^{2}}\right.$a2$\scriptstyle \left(\vphantom{x-x_{0}}\right.$x - x0$\scriptstyle \left.\vphantom{x-x_{0}}\right)^{{2}}$ + b2$\scriptstyle \left(\vphantom{y-y_{0}}\right.$y - y0$\scriptstyle \left.\vphantom{y-y_{0}}\right)^{{2}}$$\scriptstyle \left.\vphantom{a^{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+b^{2}\left(y-y_{0}\right)^{2}}\right]$e-2$\scriptstyle \pi$j$\scriptstyle \left[\vphantom{u_{0}\left(x-x_{0}\right)+v_{0}\left(y-y_{0}\right)}\right.$u0$\scriptstyle \left(\vphantom{x-x_{0}}\right.$x - x0$\scriptstyle \left.\vphantom{x-x_{0}}\right)$ + v0$\scriptstyle \left(\vphantom{y-y_{0}}\right.$y - y0$\scriptstyle \left.\vphantom{y-y_{0}}\right)$$\scriptstyle \left.\vphantom{u_{0}\left(x-x_{0}\right)+v_{0}\left(y-y_{0}\right)}\right]$ (3.21)

$\displaystyle \mathcal {F}$$\displaystyle \left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\displaystyle \left.\vphantom{u,v}\right)$ = e-$\scriptstyle \pi$$\scriptstyle \left[\vphantom{\frac{\left(u-u_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(v-v_{0}\right)^{2}}{b^{2}}}\right.$$\scriptstyle {\frac{{\left(u-u_{0}\right)^{2}}}{{a^{2}}}}$ + $\scriptstyle {\frac{{\left(v-v_{0}\right)^{2}}}{{b^{2}}}}$$\scriptstyle \left.\vphantom{\frac{\left(u-u_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(v-v_{0}\right)^{2}}{b^{2}}}\right]$e-2$\scriptstyle \pi$j$\scriptstyle \left[\vphantom{x_{0}\left(u-u_{0}\right)+y_{0}\left(v-v_{0}\right)}\right.$x0$\scriptstyle \left(\vphantom{u-u_{0}}\right.$u - u0$\scriptstyle \left.\vphantom{u-u_{0}}\right)$ + y0$\scriptstyle \left(\vphantom{v-v_{0}}\right.$v - v0$\scriptstyle \left.\vphantom{v-v_{0}}\right)$$\scriptstyle \left.\vphantom{x_{0}\left(u-u_{0}\right)+y_{0}\left(v-v_{0}\right)}\right]$ (3.22)

En utilisant les définitions des extensions effectives, on pourrait montrer que

$\displaystyle \Delta$x = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2a\sqrt{\pi}}}}$          $\displaystyle \Delta$y = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2b\sqrt{\pi}}}}$ (3.23)

$\displaystyle \Delta$u = $\displaystyle {\frac{{a}}{{2\sqrt{\pi}}}}$          $\displaystyle \Delta$v = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2\sqrt{\pi}}}}$ (3.24)

Dès lors, quelles que soient les valeurs de a et de b, les fonctions de GABOR minimisent l'incertitude 3.20.

La fonction de GABOR (équation 3.21) est le produit d'une gaussienne elliptique de rapport b/a dont le centre est situé en $ \left(\vphantom{x_{0},y_{0}}\right.$x0, y0$ \left.\vphantom{x_{0},y_{0}}\right)$ par une exponentielle complexe représentant une modulation par une fréquence radiale $ \sqrt{{u_{0}^{2}+v_{0}^{2}}}$ dont l'orientation est tan-1$ \left(\vphantom{v_{0}/u_{0}}\right.$v0/u0$ \left.\vphantom{v_{0}/u_{0}}\right)$. La représentation de la partie réelle d'une fonction de GABOR est donnée à la figure 3.12 tandis que sa transformée de FOURIER est représentée à la figure 3.13.

Figure: Représentation de la partie réelle d'un membre de la famille des fonctions de GABOR (a = b, x0 = y0 = 0, u0 = 0, v0 = 2).
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Figure 3.13: Module de la transformée de FOURIER de la fonction de GABOR représentée à la figure 3.12.
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Comme le montre la figure 3.13, les fonctions de GABOR peuvent servir de filtres sélectifs, ne gardant que les composantes fréquentielles de l'image situées dans un voisinage centré en $ \left(\vphantom{u_{0},v_{0}}\right.$u0, v0$ \left.\vphantom{u_{0},v_{0}}\right)$, la taille de ce voisinage étant fixée par les valeurs de a et de b. Il est également possible de faire subir une rotation aux fonctions de GABOR afin que les axes principaux des ellipses ne coïncident plus avec les axes u - v. Enfin, il est courant que l'on utilise un banc de filtres de GABOR afin de mettre en évidence différentes textures et zones homogènes qui sont présentes dans l'image.

Marc Van Droogenbroeck. Tous droits réservés.
2003-09-30